[Arithmétique] Comment infirmer cette conjecture ?

[invitefd4e7c09]

Je trouve aussi 97[131]

Merci pour cette nouvelle valeur que je vais ajouter au graphe

Cordialement
Anthony
-----

[leg]

Voici le graphe actualisé avec quelques nouvelles valeurs.
C'est toujours un peu la jungle la dedans et on ne peut que spéculer pour le moment.

Cordialement
Anthony

Bonjour
effectivement en regardant les différents points, ainsi que le dernier de hhh86, ceux qui se rapprochent le plus ce serait les premiers congrus 53[60]
113 est aussi proche de la courbe rose.

mais il n'y a aucune règle qui donnerait une piste, ou une certaine famille de premiers...qui pour l'instant n'apparait dans le graphe.
le contraire serait trop beau...
amicalement
leg

[invite5150dbce]

à vérifier 7?+6? est congru 183 [233]
Je trouve 151 pour 6? et 32 pour 7?

[invitea6f35777]

Bonjour,

Pour infirmer la dernière conjecture en date je propose

Il me semble que est un multiple de qui n'est pas un multiple de et qui n'est pas congru à modulo , que est premier et que est un multiple de . Mais c'est à vérifier j'ai pu me tromper dans mes calculs

Si c'est correct je suis en attente de la nouvelle conjecture

[invite986312212]

Si c'est correct je suis en attente de la nouvelle conjecture

allez, une conjecture un peu plus dure: parmi les nombres n!+(n+1)! une infinité sont premiers et une infinité sont composés.

[inviteaf1870ed]

Euh, tu es sur ?

n!+(n+1)!=n!(1+n+1) est toujours composé

[invitefd4e7c09]

à vérifier 7?+6? est congru 183 [233]
Je trouve 151 pour 6? et 32 pour 7?

Merci pour ce point.

[invite986312212]

il fallait lire: n?+(n+1)?

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Pour infirmer la dernière conjecture en date je propose

Il me semble que est un multiple de qui n'est pas un multiple de et qui n'est pas congru à modulo , que est premier et que est un multiple de . Mais c'est à vérifier j'ai pu me tromper dans mes calculs

Si c'est correct je suis en attente de la nouvelle conjecture

Bonjour KerLannais,

Il me semble que tu as trouvé un beau contre exemple
Voici le calcul effectué:
*****************


car



car

En additionnant les deux termes il vient :


L'entier est donc divisible par cela infirme donc la dernière conjecture en date.

Cordialement
Anthony

N.B: Comment as tu fait pour déterrer ce contre exemple ?

[invitea6f35777]

Chacun ses petits secrets, je pense avoir trouver une méthode pour casser toutes tes conjectures futures, en fait je conjecture que pour tout nombre premier il existe une infinité d'entier tel que , que l'ensemble des entiers qui ont cette propriété est du type

auquel on enlève éventuellement un nombre fini d'entier,
avec un entier supérieur ou égal à et .

Par exemple j'ai montré que



à partir de ca commence a devenir un peu pénible et puis j'ai remarqué que pour ces trois nombres premier (c'est insuffisant pour énoncer une conjecture) on avait

Autrement dit si alors , si alors et si alors . J'ai donc regardé parmis les contre-exemples déjà trouvé et j'ai vu que cette conjecture était fausse puisque est divisible par et n'est pas divisible par . Néantmoins j'ai conjecturé que pour premier supérieur à

Autrement dit, plutôt que de chercher tous les entiers tels que était divisible par j'ai cherché seulement ceux qui étaient congru à modulo ce qui demande beaucoup moins de travail
En effet,
si alors ansi, si est pair alors est pair et

et de même, si est impair

On a

Pour connaître modulo il faut donc connaître le reste de modulo . Il est clair que si (resp. ) alors (resp. ).

Je précise que puisque on a et donc on a de la marge, , , ... , sont strictement positifs.

Si maintenant il suffit de connaître la parité de et donc de .

On a donc si pour connaître modulo il faut connaître modulo . Puisque (et donc ), si alors . Sinon et puisque du coups est impair alors et sont pairs et donc . Pour résumer on voit que pour connaître le reste de modulo il suffit de connaître la parité de et son reste modulo . Autrement dit il suffit de connaître modulo . J'ai donc fait un tableaux pour résumer les résultats, sachant que on a

On voit donc que si et alors . Le théorème chinois m'a parmis de trouver que le plus petit (il y en a une infinité) entier naturel qui soit un multiple de mais pas un multiple de qui soit congru à modulo et à modulo (et donc pas à modulo ) était . J'ai eu un gros coup de bol que soit premier. Cela dit j'avais une infinité d'autres concurrents à tester Je ne sais pas d'ailleurs pourquoi tu gardes cette hypothèse premier vu le nombre de contre-exemples qu'on t'a fourni, il me semble que cette hypothèse n'apporte pas grand chose

[invitea6f35777]

En fait je viens de me rendre compte que ma conjecture est vraie et facile à démontrer

Lemme:Soit un nombre premier strictement plus grand que alors si et si et si (il est toujours possible de trouver une infinité de tels entiers d'après le théorème chinois puisqu'on a toujours et premiers entre eux) alors

En particulier, pour tout nombre premier strictement supérieur à il existe une infinité de somme de puissancielles successives qui sont divisibles par

Preuve: On a

et est impair puisque est impair et que . Ainsi on a

Ensuite, puisque alors et donc et donc (On a ). Finalement on a

CQFD

[invitea6f35777]

D'après le théorème chinois les entiers qui vérifient les hypothèses du Lemme sont les entiers de la forme
avec
et tels que et dans ce cas

[invite93e0873f]

Désolé, mauvais message.

[invite93e0873f]

et est impair puisque est impair et que .

Ne serait-il pas plus juste de dire que n est impair, car p est impair, donc p-1 est pair et donc est aussi impair? Pour le reste, bien vu

[invitea6f35777]

Ne serait-il pas plus juste de dire que n est impair, car p est impair, donc p-1 est pair et donc est aussi impair?

Oui tu as tout à fait raison, j'ai fait une grosse erreur de raisonnement merci beaucoup pour ta correction

[invitefd4e7c09]

Chacun ses petits secrets, je pense avoir trouver une méthode pour casser toutes tes conjectures futures, en fait je conjecture que pour tout nombre premier il existe une infinité d'entier tel que , que l'ensemble des entiers qui ont cette propriété est du type

auquel on enlève éventuellement un nombre fini d'entier,
avec un entier supérieur ou égal à et .

D'accord mais si je comprends bien, le fait qu'il y ait une infinité d'entier tel que ne veut pas dire pour autant que tout entier il existe un tel que (en écartant le cas ou

Autrement dit, plutôt que de chercher tous les entiers tels que était divisible par j'ai cherché seulement ceux qui étaient congru à modulo ce qui demande beaucoup moins de travail

C'était donc ça votre secret !
Mais avec ce type de raisonnement vous pouvez donc trouver un ensemble de tel que et cela "quelque soit" les conditions sur .
Si par exemple demain j'ajoute la condition non multiple de 6, vous pouvez trouver un n_i non multiple de 6 mais vérifiant .
C'est déjà très fort mais cela concerne uniquement la division par 11 et des entiers de la forme 6?+7? peuvent donc être néanmoins premier.

Le théorème chinois m'a parmis de trouver que le plus petit (il y en a une infinité) entier naturel qui soit un multiple de mais pas un multiple de qui soit congru à modulo et à modulo (et donc pas à modulo ) était . J'ai eu un gros coup de bol que soit premier. Cela dit j'avais une infinité d'autres concurrents à tester

Ah oui tout à fait, il y a l'embarras du choix

Je ne sais pas d'ailleurs pourquoi tu gardes cette hypothèse premier vu le nombre de contre-exemples qu'on t'a fourni, il me semble que cette hypothèse n'apporte pas grand chose[/TEX]

Pour comprendre cette hypothèse, il faut la remettre dans son contexte (cf la video sur dailymotion).
A l'époque j'avais :
*************
premier et est aussi premier
premier et est aussi premier
premier et est aussi premier
pas premier et n'est pas premier
pas premier et n'est pas premier
Évidemment aujourd'hui tout cela est dépassé grâce à l'ensemble des contre exemples que vous et d'autres personnes sont parvenues à trouver.
A noter tout de même que le cas 6?+7? est toujours aussi coriace et que les entiers de la forme n?+n+1? ne sont franchement pas toujours évident à manipuler. Face à cela je salue donc votre performance en la matière

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

D'après le théorème chinois les entiers qui vérifient les hypothèses du Lemme sont les entiers de la forme
avec
et tels que et dans ce cas

Je crois que la ça répond à ma question de tout à l'heure.
Plusieurs choses par rapport à cela :
*************************
1/ Pensez vous qu'il existe des et des tels que qui ne figurent pas dans le polynôme que vous proposez.
Le cas 53|5?+6? par exemple semblait poser problème.
En posant p=53 dans le polynome on aboutit à :

Le plus petit tel que est donné pour et on obtient qui est premier (est ce toujours le cas d'ailleurs?) mais qui est divisible par 5 ce qui ne satisfait pas à la condition premier. Alors certes il doit y avoir des tels que cette dernière condition soit respectée mais il semblerait que certains passent à travers les mailles du filet ou alors je suis à coté de la plaque

2/ Ce résultat restera t il vrai quelque soit les conditions qu'on peut émettre sur ?
Ou comment mettre finalement le polynome à rude épreuve au point qu'il ne puisse plus fournir de adéquat.

[invitefd4e7c09]

Bonsoir,

Concernant la recherche d'un entier premier divisant , je patauge toujours autant.
Néanmoins, voici une drôle de coïncidence :
****************************** *
est divisible par
est divisible par
donne de bons résultat avec

Cordialement
Anthony

[invitec317278e]

que veux tu dire par "donne de bons résultats" ?

[invitefd4e7c09]

que veux tu dire par "donne de bons résultats" ?

Peu mathématique comme expression mais ici il s'agit d'approcher au plus près la courbe rose sur le graphe.

[invitec317278e]

Peu mathématique comme expression mais ici il s'agit d'approcher au plus près la courbe rose sur le graphe.

Bon, histoire de mettre les choses en ordre :

http://a.imagehost.org/0940/puissancielle.png

que voit on sur ce graphe ?
on voit des points, reliés par des traits.
Le n-ième points correspond au :
-pour l'abscisse, il s'agit du (n+200)ième entier premier compté à partir de 1
-pour l'ordonnée, il s'agit du reste de ce nombre premier modulo 4?+5?.

Autrement dit, cette courbe est celle que tu t'amuses à tracer, mais cette fois pour une somme de puissancielle suffisamment petite pour que le PC puisse la calculer.

Et que remarque-t-on ? Et bien que regarder si un nombre premier est proche de l'axe ne nous dit pas si les suivants et précédents seront aussi proche de l'axe. Autrement dit, cette courbe ne sert à rien, ou tout du moins, pas de la manière que tu veux.

[invitefd4e7c09]

Bon, histoire de mettre les choses en ordre :

http://a.imagehost.org/0940/puissancielle.png

Et que remarque-t-on ? Et bien que regarder si un nombre premier est proche de l'axe ne nous dit pas si les suivants et précédents seront aussi proche de l'axe. Autrement dit, cette courbe ne sert à rien, ou tout du moins, pas de la manière que tu veux.

Bon, histoire de recadrer les choses :

De quel axe parlez vous ?
Cette courbe ne vous sert rien ?
C'est une façon de voir les choses

Bonne soirée Thorin

[invitec317278e]

"l'axe" est la droite d'équation y=x

Cette courbe ne vous sert rien ?
C'est une façon de voir les choses

il apparait clairement sur cette courbe que marquer quelques points, et essayer de voir où seront les suivants est voué à l'échec. A la base, c'est une idée potable, après tout, pourquoi pas. Mais en fait, sans une étude réellement sérieuse, c'est juste du pifomètre...

[invitefd4e7c09]

"l'axe" est la droite d'équation y=x



il apparait clairement sur cette courbe que marquer quelques points, et essayer de voir où seront les suivants est voué à l'échec. A la base, c'est une idée potable, après tout, pourquoi pas. Mais en fait, sans une étude réellement sérieuse, c'est juste du pifomètre...

Il apparait clairement sur cette courbe ci-jointe qu'elle admet localement des maxima et minima locaux ce qui laisse présager de la valeur de certains restes.

Exemple
******
Sur l'intervalle
les restes modulo et de sont compris entre et comme on pouvait s'en douter grâce à la courbe.
Peut être que tout ceci n'est que pur coïncidence mais ça commence à faire beaucoup.

Cordialement
Anthony

[invitea6f35777]

1/ Pensez vous qu'il existe des et des tels que qui ne figurent pas dans le polynôme que vous proposez.
Le cas 53|5?+6? par exemple semblait poser problème.

Oui bien sûr et je n'ai jamais prétendu le contraire puisque j'ai même affirmé que ne répondait pas à ce critère, il y a aussi tous les congrus à modulo et pas modulo



...

...
pour tout ces on a on a aussi mais on a pas et donc pas dans l'ensemble des contre-exemples répondant au lemme. En fait s'il était vrai que

alors il serait facile de montrer que est premier et même de montrer la primalité d'autres sommes de puissancielles successives. Mais bon c'est trop miraculeux pour être vrai et d'ailleurs c'est faux à cause de

la primalité de reste un problème, il se peut très bien que son plus petit diviseur premier soit démentiellement grand et auquel cas la division par les premiers nombres premier est aussi efficace que de vider l'océan Atlantique au dé à coudre (et encore dans le cas de l'océan Atlantique on peut évaluer le temps que ça nous prendra). Du coup ce cas est intéressant puisqu'il faut trouver une autre astuce, s'il y en a une

Quand à mettre à rude épreuve le polynôme il faudrait imposer pour tout premier (et d'autres conditions puisqu'on sait que celles là sont insuffisantes), et puisque les nombres premiers sont premiers entre eux on est certain d'après le théorème chinois qu'on ne peut pas remplacer cette infinité de conditions modulaires par un nombre fini, ni même trouver un nombre fini de relation modulaires qui interdisent ces contre exemples. Autrement dit tu ne pourras pas faire tenir ta conjecture avec des relations de type modulaires (sauf à en supposer une infinité et dans ce cas c'est pas génial et en plus il faut les trouver ces conditions). Les types de conditions qui pourraient convenir c'est des condition de primalité (comme premier ou premier).

Par exemple si tu suppose que doit être premier alors pour que on doit avoir et donc il faut alors dans le cadre de mes contre-exemples soit

Puisque seul les cas nous intéresse il faut et on voit bien que c'est absolument impossible.

Ainsi, la seule condition premier suffit à supprimer tout mes contre-exemples mais elle ne supprime pas .

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Voici un nouveau point proche de la courbe rose
Ce point n'était pas prévisible à la lecture du dernier graphe en date ce qui va dans le sens de ce que disait Thorin et Ambrosio.
C'est un peu le chaos dans la répartition de ces points ce qui n'empêche pas de spéculer sur la forme général des points se rapprochant le plus de la courbe rose.
Je maintiens toujours que les de la forme donne de *bons résultats* et plus précisément les de la forme (à quelques unités près pour tomber sur un premier )

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

En fait s'il était vrai que

alors il serait facile de montrer que est premier et même de montrer la primalité d'autres sommes de puissancielles successives. Mais bon c'est trop miraculeux pour être vrai et d'ailleurs c'est faux à cause de

Oui ce serait trop facile
Décidément ce contre exemple revient souvent sur le tapis et je me demande encore comment son auteur à fait pour le trouver (il doit avoir ses petits secrets


l

a primalité de reste un problème, il se peut très bien que son plus petit diviseur premier soit démentiellement grand et auquel cas la division par les premiers nombres premier est aussi efficace que de vider l'océan Atlantique au dé à coudre (et encore dans le cas de l'océan Atlantique on peut évaluer le temps que ça nous prendra). Du coup ce cas est intéressant puisqu'il faut trouver une autre astuce, s'il y en a une

C'est sur que mes outils mathématiques peuvent paraitre dérisoire par rapport à la difficulté du problème (tout ce cirque je le rappelle pour résoudre la toute petite équation ).
Néanmoins si Thorin et Ambrosio disent vrai alors n'importe quel badaud chanceux peut trouver ce solution de l'équation vu qu'il n'y a pas d'ordre ou de logique apparente dans ce foutoir de points.

Les types de conditions qui pourraient convenir c'est des condition de primalité (comme premier ou premier).

Inconsciemment c'est ce par quoi j'ai commencé dans ma démarche avec la condition premier.

Ainsi, la seule condition premier suffit à supprimer tout mes contre-exemples mais elle ne supprime pas .

Ah et bien parfait dorénavant :
**********************
Pour tout n>2
premier et premier différent de 7

Cordialement
Anthony

[invitedb2255b0]

J'énumère tous les entier de 1 jusqu'à 3.
1
2
3

Je remarque que 2 et premier, et que 3 l'est aussi ! Donc, j'emet la conjecture que: Tous les entiers différents de 1 sont premiers !

A oui, mais si je continue, 4 n'est pas premier, mais 5 l'est ! Donc, j'vais renforcé ma conjecture: Tous les entier impairs sont premier !

Finalement de fils en aiguille j'arrive à: Tous les entier premiers sont premier !



Je ne critique pas la methode, mais je trouve que c'est osé ce genre de methode, surtout quand on s'appuis sur un atout lourd: Le fait que la puissantielle croit très vite !!

Une conjecture dans le même style assez amusante, c'est que "Tous nombre pair supérieur à 2 est somme de deux nombre premier"
Et les ordinateur sont encore entrain de chercher un contre-exemple .

[invitefd4e7c09]

J'énumère tous les entier de 1 jusqu'à 3.
1
2
3

Je remarque que 2 et premier, et que 3 l'est aussi ! Donc, j'emet la conjecture que: Tous les entiers différents de 1 sont premiers !

A oui, mais si je continue, 4 n'est pas premier, mais 5 l'est ! Donc, j'vais renforcé ma conjecture: Tous les entier impairs sont premier !

Finalement de fils en aiguille j'arrive à: Tous les entier premiers sont premier !



Je ne critique pas la methode, mais je trouve que c'est osé ce genre de methode, surtout quand on s'appuis sur un atout lourd: Le fait que la puissantielle croit très vite !!

Une conjecture dans le même style assez amusante, c'est que "Tous nombre pair supérieur à 2 est somme de deux nombre premier"
Et les ordinateur sont encore entrain de chercher un contre-exemple .

Bien sur que cette façon de procéder est critiquable et qu'on risque surement d'arriver à quelque chose du genre :
Toute somme de deux puissancielles est première si n<4 ou pire encore toute somme de deux puissancielles est première si et si et si et si ....
Néanmoins je pense qu'il serait amusant d'aboutir à une conjecture simple qui se joue de tous les contre exemples et que tout le monde soupçonnerait être fausse mais ou personne ne trouverait le moyen de le démontrer

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Voici un nouveau point de coordonnées
Il fut obtenu en calculant :


En sommant les deux termes, il vient :


En prime je donne le nouveau graphe en pièce jointe.
Il est assez déprimant et donne l'impression que la courbe rose est approchée d'aussi près qu'on le souhaite mais sans jamais la toucher

Cordialement
Anthony