[Arithmétique] Comment infirmer cette conjecture ?

**leg** · 13/05/2010, 12h32

Envoyé par anthony_unac

Re,
1)
Ensuite concernant la progression arithmétique de raison 30 je peux comprendre le début mais au bout d'un moment cette progression ne génère plus d'entiers premier.

2)
A partir de la je me perds dans vos familles et je ne comprends toujours pas ce 26.6666 % qui ne m'éclaire pas plus que le 73.3333% (mis à part le fait que 100%-73.3333%=26.6666%)

Cordialement
Anthony

bonjour
1)
si les suites en progression arithmétique de raison 30 ayant comme premier terme P , de 7 à 31 ne contenaient plus de nombres premiers, alors : tu as réussi à dire que le nombre de premiers est finis!
c'est à dire que le théorème de Dirichlet est faux, ainsi que celui de Chebotarev , sur l'infinité de premiers dans les deux suites en progression arithmétique de raison 3, ayant comme premier terme 1 et 2 .
Si tu prends le temps d'examiner ces deux suites, tu trouveras tous les premiers > 5, dans la suite : 1 les 4 familles, 7.13.19.31 modulo 30; contenant une infinité de premiers et une même densité par famille. (de la forme 3k+1)
dans la suite: 2 les 4 familles ,11.17.23.29 modulo 30 contenant aussi une même densité de premiers et une infinité que la suite 1. (de la forme 3k-1)

2)
100 % des entiers naturels - 26.666..6% des entiers congrus P[30], il reste bien les multiples de: 2,3 et 5 soit 73,3333....3% des entiers naturels; je ne vois vraiment pas ce qu'il y a de difficile ou d'incompréhensible la dedans....?
ou si tu le veux bien, tu prends le crible d'Eratosthène, tu barres 2,3,et 5 et leurs multiples par tranches de 100, et calcule le pourcentage restant.
ou encore: 30/8=3.75, et 100/3.75 =26.6666...des entiers naturels.

bonne journée
leg

invitefd4e7c09 · 13/05/2010, 13h02

Envoyé par leg

bonjour
1)
si les suites en progression arithmétique de raison 30 ayant comme premier terme P , de 7 à 31 ne contenaient plus de nombres premiers, alors : tu as réussi à dire que le nombre de premiers est finis!
c'est à dire que le théorème de Dirichlet est faux, ainsi que celui de Chebotarev , sur l'infinité de premiers dans les deux suites en progression arithmétique de raison 3, ayant comme premier terme 1 et 2 .
Si tu prends le temps d'examiner ces deux suites, tu trouveras tous les premiers > 5, dans la suite : 1 les 4 familles, 7.13.19.31 modulo 30; contenant une infinité de premiers et une même densité par famille. (de la forme 3k+1)
dans la suite: 2 les 4 familles ,11.17.23.29 modulo 30 contenant aussi une même densité de premiers et une infinité que la suite 1. (de la forme 3k-1)

2)
100 % des entiers naturels - 26.666..6% des entiers congrus P[30], il reste bien les multiples de: 2,3 et 5 soit 73,3333....3% des entiers naturels; je ne vois vraiment pas ce qu'il y a de difficile ou d'incompréhensible la dedans....?
ou si tu le veux bien, tu prends le crible d'Eratosthène, tu barres 2,3,et 5 et leurs multiples par tranches de 100, et calcule le pourcentage restant.
ou encore: 30/8=3.75, et 100/3.75 =26.6666...des entiers naturels.

bonne journée
leg

Plusieurs choses :
*************
1/Je n'ai jamais dit que les suites arithmétiques de raison 30 ne contenaient plus de premiers mais je fais remarqué que ce qui marche bien en terme de primalité avec 7+30k pour k jusqu'a 5 échoue pour k = 6 car 187 n'est pas premier. Cette progression ne génère donc PAS que des premiers.

2/ Si vous partez avec une espèce de crible pour produire du gros premier alors l'intérêt est franchement limité et vous allez vous retrouver avec des algo aussi lourd que le crible d'erastothène lui même.

Cordialement
Anthony

**leg** · 13/05/2010, 14h05

Envoyé par anthony_unac

Plusieurs choses :
*************
1/Je n'ai jamais dit que les suites arithmétiques de raison 30 ne contenaient plus de premiers

2/ Si vous partez avec une espèce de crible pour produire du gros premier

Cordialement
Anthony

1/ j'avais cru comprendre :...mais au bout d'un moment cette progression ne génère plus d'entiers premier.

2/ je ne part pas d'un espèce de crible..je ne faisais que remarquer ou "l'on pouvait" trouver une concentration de grands premiers en partant d'une famille P[30] c'est tout. ("en rapport avec l'oscillation du nombre de premiers et leur rareté")
cordialement
leg

invitefd4e7c09 · 16/05/2010, 00h01

Envoyé par anthony_unac

Sans tenir compte de la roublardise n premier, cette dernière conjecture permet de dresser la liste (incomplète) des candidats en lice pour une éventuelle primalité :

$\text{[math]}$
...

En barrant les candidats tels que n multiple de 9 et tels que n+(n+1) premier, on s'aperçoit qu'il en reste beaucoup moins mais probablement trop encore pour espérer quoi que ce soit.

Bien évidemment, je suis convaincu qu'aucun de ces candidats n'est réellement premier à l'exception de 3?+4? et il y a même fort à parier que la majorité de ces candidats possède un diviseur d<p_100

Cordialement
Anthony Canu

Bien alors à l'allure ou vont les choses, (j'ai honte par avance de mon incompétence dans le domaine), je ne peux que formuler cette énième conjecture :

$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est premier si et seulement si
$\text{[math]}$ est premier

Cette dernière conjecture se joue de tous les contres exemples rencontrés jusque la et permet de dresser la liste (incomplète) des candidats pour une éventuelle primalité :

$\text{[math]}$
...
Je planche actuellement sur le candidat $\text{[math]}$ , il semble coriace et je ne parviens pas à prouver qu'il est composé.

Cordialement
Anthony

invite5150dbce · 16/05/2010, 10h34

Il va fallloir allez chercher des nombres premiers assez haut pour décomposer chacun des nombres que tu as proposé si bien entendu ceux-ci ne sont pas premiers

invitefd4e7c09 · 16/05/2010, 10h37

Envoyé par anthony_unac

Bien alors à l'allure ou vont les choses, (j'ai honte par avance de mon incompétence dans le domaine), je ne peux que formuler cette énième conjecture :

$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est premier si et seulement si
$\text{[math]}$ est premier

Cette dernière conjecture se joue de tous les contres exemples rencontrés jusque la et permet de dresser la liste (incomplète) des candidats pour une éventuelle primalité :

$\text{[math]}$
...
Je planche actuellement sur le candidat $\text{[math]}$ , il semble coriace et je ne parviens pas à prouver qu'il est composé.

Cordialement
Anthony

Avec l'aide de Thorin et de hhh, j'aboutis à :
****************************** ***
$\text{[math]}$
Ainsi le candidat $\text{[math]}$ n'est pas divisible par $\text{[math]}$ sinon le calcul aurait aboutit à $\text{[math]}$
Le choix du modulo $\text{[math]}$ n'était donc pas une bonne idée. J'essayerai prochainement $\text{[math]}$

Cordialement
Anthony

invite5150dbce · 16/05/2010, 10h50

5² est congru 1 [12]
5^(2k) est congru 1 [12]
6^12 est congru 14 [26]
Or 14^(k) est congru 14 [26]
Donc 6^(12k) est congru 14 [26]
D'où 6^(12k+1) est congru 6 [26]
7^26 est congru 1 [53]
7^(26k+6) est congru 42 [53]

invitefd4e7c09 · 16/05/2010, 10h52

Envoyé par hhh86

Il va fallloir allez chercher des nombres premiers assez haut pour décomposer chacun des nombres que tu as proposé si bien entendu ceux-ci ne sont pas premiers

Eh bien curieusement ces sommes de deux puissancielles successives semblent admettre (lorsqu'elles forment un entier composé) au moins un diviseur premier p assez petit. Par exemple $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ .
Étonnant non ?

invite5150dbce · 16/05/2010, 10h55

6^13 est congru -1 [53]
6^26 est congru 1 [53]
5^2 est congru -1 [26]
5^4 est congru 1 [26]
Donc 5^(4k) est congur 1 [26]
6^(26k+1) est congru 6 [53]

invite5150dbce · 16/05/2010, 10h56

Envoyé par anthony_unac

Eh bien curieusement ces sommes de deux puissancielles successives semblent admettre (lorsqu'elles forment un entier composé) au moins un diviseur premier p assez petit. Par exemple $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ .
Étonnant non ?

En terme de probabilité c'est un peu normal

invitefd4e7c09 · 16/05/2010, 19h25

Envoyé par hhh86

5² est congru 1 [12]
5^(2k) est congru 1 [12]
6^12 est congru 14 [26]
Or 14^(k) est congru 14 [26]
Donc 6^(12k) est congru 14 [26]
D'où 6^(12k+1) est congru 6 [26]
7^26 est congru 1 [53]
7^(26k+6) est congru 42 [53]

Je propose le calcul suivant :
**********************

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Pour le calcul de $\text{[math]}$ , j'aboutis au même résultat que vous.
Ainsi $\text{[math]}$ ce qui prouve que $\text{[math]}$ n'est pas un diviseur de $\text{[math]}$
Encore raté avec le choix du modulo $\text{[math]}$

J'essayerai un autre $\text{[math]}$ plus tard.

Cordialement
Anthony

invitefd4e7c09 · 16/05/2010, 19h35

Envoyé par hhh86

En terme de probabilité c'est un peu normal

Dans ce cas il n'est pas impossible de trouver (à tâtons faute de mieux) un premier qui divise $\text{[math]}$ .
Cette recherche est loin d'être la quête du St Graal et je le trouverai ce fichu $\text{[math]}$ quitte à prendre mon temps.

invitefd4e7c09 · 17/05/2010, 20h40

Envoyé par anthony_unac

Dans ce cas il n'est pas impossible de trouver (à tâtons faute de mieux) un premier qui divise $\text{[math]}$ .
Cette recherche est loin d'être la quête du St Graal et je le trouverai ce fichu $\text{[math]}$ quitte à prendre mon temps.

Bonjour,

Essai avec $\text{[math]}$ aujourd'hui :
**************************
$\text{[math]}$

Il s'en est donc fallu d'un cheveu pour que $\text{[math]}$ soit un diviseur premier de $\text{[math]}$
Je vais bien finir par le trouver ce diviseur premier, j'approche du but un peu plus chaque jour.

Cordialement
Anthony

invitefd4e7c09 · 18/05/2010, 13h49

Envoyé par anthony_unac

Bonjour,

Essai avec $\text{[math]}$ aujourd'hui :
**************************
$\text{[math]}$

Il s'en est donc fallu d'un cheveu pour que $\text{[math]}$ soit un diviseur premier de $\text{[math]}$
Je vais bien finir par le trouver ce diviseur premier, j'approche du but un peu plus chaque jour.

Cordialement
Anthony

Erratum
******
$\text{[math]}$

invitefd4e7c09 · 18/05/2010, 14h12

La recherche d'un diviseur premier $\text{[math]}$ de l'entier $\text{[math]}$ n'est pas aisé. C'est un maigre lot de consolation que de se dire : si $\text{[math]}$ est composé alors $\text{[math]}$ .
Une recherche à tâtons à permis de calculer tous les restes modulo $\text{[math]}$ et de représenter graphiquement $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ (cf. pièce jointe)
Sur cette représentation graphique, la droite rouge d'équation $\text{[math]}$ correspond à un reste nul dans la division de $\text{[math]}$ .
La question devient alors existe-t-il un $\text{[math]}$ (premier bien évidemment) pour lequel $\text{[math]}$ .
Une lecture attentive du graphique donne $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ comme diviseur potentiel de $\text{[math]}$

Cas ou $\text{[math]}$
************
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ // je bloque sur ce calcul

Cordialement
Anthony

invite5150dbce · 18/05/2010, 19h04

Envoyé par anthony_unac

Je propose le calcul suivant :
**********************

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Pour le calcul de $\text{[math]}$ , j'aboutis au même résultat que vous.
Ainsi $\text{[math]}$ ce qui prouve que $\text{[math]}$ n'est pas un diviseur de $\text{[math]}$
Encore raté avec le choix du modulo $\text{[math]}$

J'essayerai un autre $\text{[math]}$ plus tard.

Cordialement
Anthony

Mon calculu et juste et il n'y a pas d'erreur après vérification. Au lieu de faire un calcul complétement faux à côté essaye de comprendre mon raisonnement.

En effet 6¹⁰ $\text{[math]}$ 4[52]
Mais 6^2*10 $\text{[math]}$ 16[52]

invite5150dbce · 18/05/2010, 19h06

Pour les autres calculs, revoyez les ou demandez confirmation à un spécialiste. Je doute qu'ils soient justes

invite5150dbce · 18/05/2010, 19h23

Envoyé par anthony_unac

La recherche d'un diviseur premier $\text{[math]}$ de l'entier $\text{[math]}$ n'est pas aisé. C'est un maigre lot de consolation que de se dire : si $\text{[math]}$ est composé alors $\text{[math]}$ .
Une recherche à tâtons à permis de calculer tous les restes modulo $\text{[math]}$ et de représenter graphiquement $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ (cf. pièce jointe)
Sur cette représentation graphique, la droite rouge d'équation $\text{[math]}$ correspond à un reste nul dans la division de $\text{[math]}$ .
La question devient alors existe-t-il un $\text{[math]}$ (premier bien évidemment) pour lequel $\text{[math]}$ .
Une lecture attentive du graphique donne $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ comme diviseur potentiel de $\text{[math]}$

Cas ou $\text{[math]}$
************
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ // je bloque sur ce calcul

Cordialement
Anthony

$\text{[math]}$ ==> juste

7^23 $\text{[math]}$ 1[47]
6^11 $\text{[math]}$ 1[23]
5^5 $\text{[math]}$ 1[11]
4^2 $\text{[math]}$ 1[5]
3^k $\text{[math]}$ 1[2]

4^(3^2) $\text{[math]}$ 4^(2k+1) $\text{[math]}$ 4[5]
5^(4^(3^2)) $\text{[math]}$ 5^(5k+4) $\text{[math]}$ 5^4 $\text{[math]}$ 9[11]
6^(5^(4^(3^2))) $\text{[math]}$ 6^(11k+9) $\text{[math]}$ 16[23]
7^(6^(5^(4^(3^2)))) $\text{[math]}$ 7^(23k+16) $\text{[math]}$ 21[47]

invite5150dbce · 18/05/2010, 19h42

7?+6? $\text{[math]}$ -1[113]

invitefd4e7c09 · 18/05/2010, 23h41

Envoyé par hhh86

$\text{[math]}$ ==> juste

7^23 $\text{[math]}$ 1[47]
6^11 $\text{[math]}$ 1[23]
5^5 $\text{[math]}$ 1[11]
4^2 $\text{[math]}$ 1[5]
3^k $\text{[math]}$ 1[2]

4^(3^2) $\text{[math]}$ 4^(2k+1) $\text{[math]}$ 4[5]
5^(4^(3^2)) $\text{[math]}$ 5^(5k+4) $\text{[math]}$ 5^4 $\text{[math]}$ 9[11]
6^(5^(4^(3^2))) $\text{[math]}$ 6^(11k+9) $\text{[math]}$ 16[23]
7^(6^(5^(4^(3^2)))) $\text{[math]}$ 7^(23k+16) $\text{[math]}$ 21[47]

Merci pour ce calcul hhh
Si je résume, $\text{[math]}$
Ce n'est pas bien loin de 0[47], mais ce n'est toujours pas cela !
Le choix de $\text{[math]}$ n'est donc pas bon.
J'essayerai demain avec $\text{[math]}$ (le cas 2)

Cordialement
Anthony

invitefd4e7c09 · 18/05/2010, 23h44

Envoyé par hhh86

7?+6? $\text{[math]}$ -1[113]

Exact, ce point figure d'ailleurs sur le graphe.
Lorsque je suis parvenu à calculer $\text{[math]}$ , je me suis dit merde à un près c'était bon

au même titre que $\text{[math]}$

invitefd4e7c09 · 19/05/2010, 09h28

Envoyé par anthony_unac

Exact, ce point figure d'ailleurs sur le graphe.
Lorsque je suis parvenu à calculer $\text{[math]}$ , je me suis dit merde à un près c'était bon

au même titre que $\text{[math]}$

Voici en pièce jointe un nouveau graphe pour illustrer la situation et pour récapituler toutes les recherches effectuées jusqu'à présent pour résoudre l'équation $\text{[math]}$
Ce candidat est vraiment coriace (je commence même à croire qu'il peut être premier).
Existe-t-il des études similaires à la mienne en maths (voire en physique). Une espèce de mixte entre arithmétique modulaire et analyse. Je serai évidemment preneur s'il y a des résultats connus en la matière.

Cordialement
Anthony

**leg** · 19/05/2010, 12h18

en regardant ton graphe, je pensais que c'était 137 qui recoupe, mais je suppose que je l'interprette mal..

invite93e0873f · 19/05/2010, 14h24

Envoyé par leg

en regardant ton graphe, je pensais que c'était 137 qui recoupe, mais je suppose que je l'interprette mal..

J'imagine que les points sont les résultats connus actuellement, la courbe les portant n'étant qu'une approximation de ce que pourrait être la véritable courbe. En ce sens, le croisement aux alentours du nombre 137 n'est pas en soi concluant, mais pourrait laisser présager une possibilité.

invite986312212 · 19/05/2010, 14h55

mais le reste modulo m n'a pas de raison de ressembler à une fonction continue de m (quoi que ça signifie) et donc la courbe n'a pas beaucoup d'intérêt.

invite93e0873f · 19/05/2010, 15h00

Je sais bien, mais bon à chercher à tâtons on se raccroche sur des possibilités, aussi générales soient-elles.

invitefd4e7c09 · 19/05/2010, 15h25

Envoyé par Universus

J'imagine que les points sont les résultats connus actuellement, la courbe les portant n'étant qu'une approximation de ce que pourrait être la véritable courbe. En ce sens, le croisement aux alentours du nombre 137 n'est pas en soi concluant, mais pourrait laisser présager une possibilité.

C'est exactement ça Universus

Une représentation graphique au sens le plus strict consisterait à représenter uniquement des points (c'est ce que Ambrosio suggère) mais sur excel il est facile de relier tous ces points de manière *harmonieuse*. Et c'est le passage au continue qui laisse entrevoir d'éventuel $\text{[math]}$ solution de l'équation $\text{[math]}$ .
On peut aussi *spéculer* (faute de mieux) sur les valeurs de $\text{[math]}$ pour lesquels la courbe représentative (de la fonction m: -> $\text{[math]}$ à tendance à se rapprocher de la courbe rose.
A ce petit jeu, les $\text{[math]}$ de la forme $\text{[math]}$ avec k entier naturel donnent de bons résultats.

Cordialement
Anthony

invitefd4e7c09 · 19/05/2010, 16h20

Envoyé par leg

en regardant ton graphe, je pensais que c'était 137 qui recoupe, mais je suppose que je l'interprette mal..

En fait la courbe bleue représentative de la fonction b:m->6?+7?[m] coupe effectivement la courbe rose de la fonction r:m->m en $\text{[math]}$ mais cette valeur n'est pas à prendre pour argent comptant car les deux points les plus proches de (137;b(137)) calculés précédemment sont (113;112) et (163;153). Entre ces deux points tout est possible et excel donne ici une façon de relier ces deux points.

Pour être exact, le calcul donne $\text{[math]}$

invitefd4e7c09 · 19/05/2010, 16h35

Voici le graphe actualisé avec quelques nouvelles valeurs.
C'est toujours un peu la jungle la dedans et on ne peut que spéculer pour le moment.

Cordialement
Anthony

invite5150dbce · 19/05/2010, 18h54

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