[Arithmétique] Comment infirmer cette conjecture ?

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Lassé de calculer à la main pour différentes valeurs de , je me suis dit qu'il y avait certainement mieux à faire surtout que mon bureau croule sous la multitude de feuilles griffonnées.

Voici donc un tout petit programme bricolé sur Maple :

for m from 3 to 223 do print("6?+7?=",irem(irem(6^ire m(5^262144,(m-1)),m)+irem((irem(7^(m-1),m))*7^(irem(6^(phi(m-1))*6^irem(5^262144,phi(m-1)),(m-1))),m),m),"mod",m) end do;

Le soucis c'est que j'obtiens la valeur de y compris pour des non premiers (chose que je ne souhaite pas).

J'ai fait dérouler un peu le programme et j'ai comparé avec mes résultats obtenus "à la main".
Premier constat : j'ai commis 3 ou 4 erreurs dans mes calculs.
Deuxième constat : ça va bougrement plus vite qu'à la main.

Je publierai un graphe plus complet dans peu de temps histoire d'illustrer le passage des 1000 premiers nombres premiers de ma table passés dans la moulinette du programme.

Cordialement
Anthony
-----

[invitefd4e7c09]

Voici un nouveau point de coordonnées
Il fut obtenu en calculant :


En sommant les deux termes, il vient :


En prime je donne le nouveau graphe en pièce jointe.
Il est assez déprimant et donne l'impression que la courbe rose est approchée d'aussi près qu'on le souhaite mais sans jamais la toucher

Cordialement
Anthony

Erratum:
******

[invitefd4e7c09]

En passant à la moulinette toutes les valeurs de , je n'observe rien de particulier à part ces deux tourtereaux :




Cordialement
Anthony

[invitec317278e]

Salut,
en maple, ithprime(n) renvoie le nième nombre premier.

[invitefd4e7c09]

Salut,
en maple, ithprime(n) renvoie le nième nombre premier.

Bonjour Thorin,

Merci pour l'info.
De mémoire il y a aussi le nextprime(n) qui renvoie le nombre premier supérieur à n.
Bon essayons de mettre tout ça dans la boucle for :
****************************** ********

for m from ithprime(1) to ithprime(1000) do print("6?+7?=",irem(irem(6^ire m(5^262144,(m-1)),m)+irem((irem(7^(m-1),m))*7^(irem(6^(phi(m-1))*6^irem(5^262144,phi(m-1)),(m-1))),m),m),"mod",m) end do;

[invitefd4e7c09]

Bonjour Thorin,

Merci pour l'info.
De mémoire il y a aussi le nextprime(n) qui renvoie le nombre premier supérieur à n.
Bon essayons de mettre tout ça dans la boucle for :
****************************** ********

C'est plutot comme ça en fait :
***********************
for m from 9000 to 10000 do print("6?+7?=",irem(irem(6^ire m(5^262144,(ithprime(m)-1)),ithprime(m))+irem((irem(7^ (ithprime(m)-1),ithprime(m)))*7^(irem(6^(ph i(ithprime(m)-1))*6^irem(5^262144,phi(ithpri me(m)-1)),(ithprime(m)-1))),ithprime(m)),ithprime(m)) ,"mod",ithprime(m)) end do;

[invitefd4e7c09]

Bonsoir,

Après plusieurs essais, j'ai pu passer à la moulinette les premiers nombres premiers et le résultat (sous réserve que la boucle n'ait pas déraillé) est sans appel :
il n'y a aucun nombre premier inférieur à qui divise .

Les résultats les plus proches de sont :











Il reste de la marge avant d'atteindre la frontière fatidique de pour se réjouir de la primalité de .
Les paris sont ouverts aujourd'hui sur la primalité de cet entier et je serais bien curieux de savoir si vous miseriez gros la dessus ?

Cordialement
Anthony

PS: Voici le dernier graphe en pièce jointe illustrant le chaos dans la répartition des premiers restes modulo de la division

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Voici un résumé de ce qui à été dit concernant la conjecture sur la primalité des entiers formés par la somme de deux puissancielles successives :

Tout à commencé en additionnant les premières puissancielles entre elles, j'obervai ainsi que :
premier et est aussi premier
premier et est aussi premier
premier et est aussi premier
Je formulai à la hâte la conjecture n°1 suivante :

, est premier.

Cette conjecture fut infirmée par le calcul de qui n'est pas premier car il peut s'écrire sous la forme de deux carrés. Utilisant le même procédé, je démontrai que n'est pas premier non plus car il peut s'écrire sous la forme de deux cubes.

Tenant compte de ces deux contre-exemples notoires et remarquant que est composé et que est composé, je formulai une deuxième conjecture :

est premier si et seulement si
est premier

Cette deuxième conjecture fut infirmée par le contre-exemple de Amiel :
C'est encore une fois la réécriture de sous la forme d'une somme de deux entiers élevés à la même puissance qui permit de conclure sur la non primalité de
KerLannais démontra ainsi que et je donnai la réplique avec le cube suivant :

Face à tous ces contre-exemples, j'ajoutai à la deuxième conjecture la condition obtenant ainsi une troisième conjecture :

est premier si et seulement si
et sont premiers

Cette conjecture mit un point final à tous les contre-exemples de la forme comme l'indique précisément le lemme de KerLannais :

Lemme:Soit un nombre premier tel que est premier alors il est impossible de trouver des entiers , et tels que , et .

Abandonnant les contre-exemples de la forme , certains contributeurs parvinrent à déterrer des contre-exemples de la forme : avec , et premiers.

Ben démontra ainsi que et Amiel démontra quant à lui que .

A partir de cet instant, c'est l'époque des modulos. La recherche de m tel que va s'imposer face à la recherche d'une décomposition de en somme de deux termes de la forme .

J'ai le sentiment dès l'heure qu'à chaque conjecture bâtie, je me heurte à un contre-exemple qui la détruit.
Face à ce constat d'échec, je m'interroge sur les conjectures et formule l'argument heuristique suivant :

En relisant les différentes conjectures, je m'aperçois qu'il y a quelque chose qui cloche dans tout ça.
Voici un argument heuristique simple:
****************************
Chaque conjecture repose sur le fait que le nombre "n?+(n+1)?" est premier moyennant certaines conditions sur n.
Or le nombre "n?+(n+1)?" devient rapidement gigantesque avec l'augmentation de n et nous savons que plus les nombres sont grands et moins ils ont de "chance" d'être premiers car les nombres premiers se rariefient.
Partant de la, il y a très très peu de chance que le nombre "n?+(n+1)?" soit premier pour n grand.
Souvenez vous des formules donnant (soi disant) que des nombres premiers. Elles se sont avérées justes pour des petites valeurs puis rapidement elles devenaient fausses.
Ce fut le cas par exemple des formules de Mersenne (2^p-1) et de Fermat (2^2^n + 1).
L'erreur commise est toujours la même, on se rassure de voir que ca fonctionne au départ pour des petites valeurs de n puis on en vient à généraliser trop hâtivement sans tenir compte de l'argument ennoncé ci-dessus.

Cet argument est loin de faire l'unanimité et une divergence d'opinion avec Médiat (le logicien) me conduit à m'interroger sur qu'est ce que :
- Une formule (donnant des nombres premiers)
- Donner rapidement des grands nombres premiers
- Un grand nombre premier (problème de l'écriture des grands entiers)
En parallèle de cela, Médiat généralise les contre-exemples de la forme en démontrant que :

Soit n un nombre premier (n > 3) tel que
Sauf erreur :
n - 1 est pair et par conséquent (n - 1)? est congru à 0 modulo 4 (c'est à dire qu'il existe un k tel que (n - 1)? = 4k):

donc

(n + 1) est congru à 4 modulo 10, et n? est impair (donc il existe k tel que n? = 2k +1)
donc



et finalement
donc est divisible par 5.

A partir de la, je formule à tâtons tout un tas de contraintes sur des plus vaines au plus roublardes :

tel que
n?+(n+1)? est premier si et seulement si
n+(n+1) est premier

NB: En ajoutant à cela la condition n est premier alors j'aboutis à quelque chose de juste mais de roublard

Une liste de candidats potentiellement premiers est dressée et un candidat va faire l'objet d'une attention particulière. Ce candidat est à mi chemin entre dont on sait qu'il est divisible par et dont on sait qu'il n'est pas premier non plus.
Commence alors une course à la résolution de l'équation avec premier qui n'aboutira à rien compte tenu de la difficulté de la chose.
Aujourd'hui cette équation n'est toujours pas résolue malgré mon acharnement et l'aide précieuse de hhh86 et d'ailleurs on ne sait même pas s'il existe une solution.
Lassé de calculer "à la main", j'ai écris un programme maple qui calcule tous les jours les valeurs de pour et renvoie les résultats tels que

La dernière conjecture en date :

tel que
est premier si et seulement si
est premier

risque de se heurter aux contre exemples de la forme puisque la condition premier à disparue.
Le contre exemple de KerLannais l'infirme effectivement mais non content de fournir ce gentil contre-exemple, KerLannais réalise le tour de force de démontrer le lemme suivant :

Lemme:Soit un nombre premier strictement plus grand que alors si et si et si (il est toujours possible de trouver une infinité de tels entiers d'après le théorème chinois puisqu'on a toujours et premiers entre eux) alors

En particulier, pour tout nombre premier strictement supérieur à il existe une infinité de somme de puissancielles successives qui sont divisibles par

Il généralise ainsi toute une partie des contre-exemples de la forme et concède que la seule condition premier permettrait de s'affranchir de tous ses derniers contre-exemples.

Il devient alors possible de rebondir sur une énième conjecture mettant à mal l'ensemble de tous les contre-exemples fourni jusque là et ce sera l'objet de mon prochain post

Cordialement
Anthony Canu

[invitefd4e7c09]

Je propose donc la conjecture suivante :
*****************************

est premier si et seulement si
, et sont premiers

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Erratum:
*****

tel que
est premier si et seulement si
, et sont premiers

[Médiat]

tel que
est premier si et seulement si
, et sont premiers

Je vous propose d'appeler cela des nombres premiers trumeaux en hommage à Boris Vian .

Rappel : on ne sait pas encore s'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ...

[invitefd4e7c09]

Je vous propose d'appeler cela des nombres premiers trumeaux en hommage à Boris Vian

C'est pas que je ne veux pas rire mais là pour le coup je ne comprends pas

Rappel : on ne sait pas encore s'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ...

Mais si oh la la et M. Brun n'en doutait point.

[Médiat]

C'est pas que je ne veux pas rire mais là pour le coup je ne comprends pas

C'est que vous n'avez pas lu L'Arrache-cœur de Boris Vian, ce que je vous conseille de faire toutes affaires cessantes, vous y ferez connaissance des trumeaux Joël, Noël et Citroën (c'est à dire deux jumeaux plus un, ce qui est bien le cas de vos trois nombres )

[invitefd4e7c09]

C'est que vous n'avez pas lu L'Arrache-cœur de Boris Vian, ce que je vous conseille de faire toutes affaires cessantes, vous y ferez connaissance des trumeaux Joël, Noël et Citroën (c'est à dire deux jumeaux plus un, ce qui est bien le cas de vos trois nombres )

D'accord deux nombres jumeaux ( et ) plus un ().

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Mon acharnement à fini par payer car aujourd'hui, en se promenant du coté de , j'ai enfin mis la main sur un diviseur premier de .
L'équation est donc enfin résolue et sa solution n'était pas évidente :



Sous réserve d'une défaillance dans le programme, j'ai le bonheur de vous annoncer que n'est pas premier car il est divisible par qui est le plus petit diviseur premier.

Cordialement
Anthony

[leg]

Bonjour,

Sous réserve d'une défaillance dans le programme, j'ai le bonheur de vous annoncer que n'est pas premier car il est divisible par qui est le plus petit diviseur premier.

Cordialement
Anthony

et qui est congru 53[60] les deux plus près était 53 et 113 ...mais, est ce une coïncidence...?
bonne journée.

[invitefd4e7c09]

et qui est congru 53[60] les deux plus près était 53 et 113 ...mais, est ce une coïncidence...?
bonne journée.

Ouah je n'avais même pas fait attention à ce détail bien vu

En revanche je me suis aperçu d'autre chose concernant le diviseur , c'est que son prédécesseur divisé de quatre redonne un nombre premier comme c'était le cas déjà avec le diviseur de ou avec qui lui était le plus petit diviseur premier de

Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

et qui est congru 53[60] les deux plus près était 53 et 113 ...mais, est ce une coïncidence...?
bonne journée.

On pourrait y voir plus qu'une coïncidence et se poser la question suivante :

si désigne et si désigne le plus petit diviseur (si possible différent de 1) de différent de celui-ci, alors est-ce que ?

Néanmoins, la coïncidence est plus que probable puisque cette 'conjecture' n'est vérifiée actuellement explicitement que pour les cas n < 7.

[invitefd4e7c09]

On pourrait y voir plus qu'une coïncidence et se poser la question suivante :

si désigne et si désigne le plus petit diviseur (si possible différent de 1) de différent de celui-ci, alors est-ce que ?

Néanmoins, la coïncidence est plus que probable puisque cette 'conjecture' n'est vérifiée actuellement explicitement que pour les cas n < 7.

Bonsoir Universus,

Qu'entendez vous par ?
A première vue j'aurais envie de dire que désigne le plus petit diviseur premier de mais alors ça ne va pas avec car on aboutit à :
et n'est pas le plus petit diviseur premier de

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Pour essayer d'y voir plus clair, je vais tenter de mettre la main sur le plus petit diviseur premier de .
Nous savons très bien que est composé car il peut s'écrire sous la forme mais nous ne connaissons rien sur son plus petit diviseur premier.
J'ai commencé à écrire un programme sous Maple mais j'ai un doute sur sa validité compte tenu du nombre de premiers inférieurs à tels que . C'est assez surprenant


Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

Qu'entendez vous par ?
A première vue j'aurais envie de dire que désigne le plus petit diviseur premier de mais alors ça ne va pas avec car on aboutit à :
et n'est pas le plus petit diviseur premier de

Salut,

Pour le sens à donner à , c'est effectivement cela (le n étant simplement un entier).

Autrement, je propose cette conjecture par hypothèse que vous ayez vérifié que tous les entiers inférieurs à 640733 ne divisent pas . Leg a déterminé que , 53 étant le plus petit diviseur de . Cela implique que , ce qui vérifie la conjecture dans le cas n=6. C'est que vous êtes partis à l'envers ; vous avez remarqué que et ensuite avez bien sûr dit que 23 ne divise pas . Seulement, il faut procéder à l'inverse, soit à partir de nos connaissances du plus petit diviseur de pour déterminer (à en croire cette conjecture) une certaine caractéristique du plus petit diviseur de . Par plus petit diviseur, j'entends bien ou tels que définis dans mon précédent message.

[invitefd4e7c09]

Salut,

Pour le sens à donner à , c'est effectivement cela (le n étant simplement un entier).

Autrement, je propose cette conjecture par hypothèse que vous ayez vérifié que tous les entiers inférieurs à 640733 ne divisent pas . Leg a déterminé que , 53 étant le plus petit diviseur de . Cela implique que , ce qui vérifie la conjecture dans le cas n=6. C'est que vous êtes partis à l'envers ; vous avez remarqué que et ensuite avez bien sûr dit que 23 ne divise pas . Seulement, il faut procéder à l'inverse, soit à partir de nos connaissances du plus petit diviseur de pour déterminer (à en croire cette conjecture) une certaine caractéristique du plus petit diviseur de . Par plus petit diviseur, j'entends bien ou tels que définis dans mon précédent message.

La je ne suis plus lorsque vous écrivez d'ou sort il ce

En essayant de reprendre votre démarche je pars du plus petit diviseur premier connu c'était à l'époque qui divisait .
Partant de la je vais essayer de trouver une *certaine caractéristique* sur le plus petit diviseur premier de .
En appliquant votre relation, j'aboutis à :
****************************** ***

Seulement ceci est faux car

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Ce qui est vrai en revanche c'est:
*************************
qui est premier et avec
qui est premier et avec
qui est premier et avec

Pur coïncidence ou pas, nous allons vite le découvrir avec le plus petit diviseur premier de

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

La je ne suis plus lorsque vous écrivez d'ou sort il ce

En essayant de reprendre votre démarche je pars du plus petit diviseur premier connu c'était à l'époque qui divisait .
Partant de la je vais essayer de trouver une *certaine caractéristique* sur le plus petit diviseur premier de .
En appliquant votre relation, j'aboutis à :
****************************** ***

Seulement ceci est faux car

Cordialement
Anthony

Erratum
******
et la relation de Universus prend tout son sens. Je donnerai dans un prochain post tous les exemples qui illustrent sa relation.

En revanche, je ne comprends toujours pas d'où vient le

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Comme promis voici l'illustration de la relation de Universus :
****************************** ***************

désigne le plus petit diviseur premier de
Connaissant on cherche une *certaine caractéristique* de :

or

désigne le plus petit diviseur premier de
Connaissant on cherche une *certaine caractéristique* de :

or //La relation ne fonctionne pas dans ce cas

désigne le plus petit diviseur premier de
Connaissant on cherche une *certaine caractéristique* de :

or

désigne le plus petit diviseur premier de
Connaissant on cherche une *certaine caractéristique* de :

or

désigne le plus petit diviseur premier de
Connaissant on cherche une *certaine caractéristique* de :

or

Et à présent tout reste à faire pour découvrir
****************************** ******
désigne le plus petit diviseur premier de
Connaissant on cherche une *certaine caractéristique* de :

or
désigne le plus petit diviseur premier de

Si l'on combine la relation de Universus avec mon observation on aboutit à deux contraintes sur :
******************
// Universus
// Anthony


Cordialement
Anthony Canu

[invite93e0873f]

Salut,

En revanche, je ne comprends toujours pas d'où vient le

Désolé, il s'agit d'une erreur de frappe de ma part, je voulais bien dire 640733.

[...]La relation ne fonctionne pas dans ce cas

Oui, j'étais au courant de ce cas. C'est pourquoi, de façon assez moche je dois l'avouer, j'ai ajouté une condition à la conjecture dans mon message que j'aie probablement trop mal exprimée pour que vous l'ayez comprise.

est le plus petit diviseur de différent de et, si possible, du diviseur 'trivial' 1.

Bref, dans les premiers cas, il n'y a pas de possibilité de prendre pour une valeur différente de 1. Cela permet donc de vérifier la conjecture à présent jusqu'au cas n=6. Néanmoins, il est fort fort probable que la conjecture soit fausse. Par contre, il n'est pas inintéressant de se pencher sur les caractéristiques des diviseurs des .

Par ailleurs, pour 'ma conjecture', on peut se restreindre qu'à diviser s_7 par des premiers congrus à 23[42] comme tu l'as déterminé et voir s'il reste un reste non nul.

[invitefd4e7c09]

Bref, dans les premiers cas, il n'y a pas de possibilité de prendre pour une valeur différente de 1. Cela permet donc de vérifier la conjecture à présent jusqu'au cas n=6. Néanmoins, il est fort fort probable que la conjecture soit fausse. Par contre, il n'est pas inintéressant de se pencher sur les caractéristiques des diviseurs des .

Par ailleurs, pour 'ma conjecture', on peut se restreindre qu'à diviser s_7 par des premiers congrus à 23[42] comme tu l'as déterminé et voir s'il reste un reste non nul.

Si votre conjecture est juste, alors elle fera gagner du temps dans la recherche du plus petit diviseur premier de .
En remettant maple à rude épreuve dans la recherche de je me suis aperçu qu'on aboutit au diviseur sept fois plus vite en insérant la condition de congruence :
Ceci est encourageant et je vais le mettre en place pour la recherche de .

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Demain je passe à la moulinette les premiers nombres premiers en insérant votre condition de congruence. Ceci dit, je ne perds pas de vue que le plus petit diviseur premier de peut très bien ne pas être congru à .
Autre scénario possible : mettre la main sur un premier congru à et divisant mais n'étant pas pour autant le plus petit diviseur premier de .

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Ca y est !
Les premiers nombres premiers congrus à sont passés à la moulinette de Maple et le résultat est sans appel.
Au terme de 101903s (28.3h), Maple indique :
****************************** *****
Il n'existe aucun premier inférieur à qui divise

Que faut il en penser ?
La conjecture d'Universus ne prend plus ?
Pas si sûr car il faut peut être pousser les tests plus loin encore.
Par ailleurs, on peut très bien imaginer que le plus petit diviseur premier de soit un premier inférieur à mais non congru à

Affaire à suivre donc ...

Cordialement
Anthony

[leg]

Bonjour,



Que faut il en penser ?
La conjecture d'Universus ne prend plus ?
Pas si sûr car il faut peut être pousser les tests plus loin encore.
Par ailleurs,
Affaire à suivre donc ...

Cordialement
Anthony

il se pourrait bien "que ta petite affaire" tu la suive très très longtemps
et tu n'en est qu'a: 7?+8?...

amicalement
leg