martingales

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai un exo dont j´ai le corrigé mais que je ne comprend pas. Je vous le soumet mot -à-mot:

Soit (X_n)_n>=1, une suite de variables aléatoires indépendantes, et de même loi exponentielle de paramètre , et soit a un réel strictement positif.

On pose:


Que peut-on dire à propos de ?


Le corrigé est comme suit:

On calcule E(Y₁) et on constate facilement que Y1 est intégrable ssi
À partir de là, on suppose cette inégalité établie. Ensuite:

est et X_n+1 est indépendante de .

Et ensuite c´est à partir de là que je ne comprend plus le corrigé:

Il calcule et il optient alors


Je vous passe les détails des calculs, c´est pas le calcul qui me pose problème, mais pourquoi bon Dieu au lieu de calculer simplement ?

Si quelqu´un a une idée... Merci d´avance

christophe
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[invite986312212]

bonjour,

tu as car est -mesurable. Donc si tu veux voir si ta suite est une sur- ou sous- ou (rien)-martingale c'est bien cette espérance qu'il faut calculer.

[invitee75a2d43]

bonjour,

tu as car est -mesurable. Donc si tu veux voir si ta suite est une sur- ou sous- ou (rien)-martingale c'est bien cette espérance qu'il faut calculer.

Oui d´accord, c´est une facon de voir, mais alors dans ce cas, une fois calculé , on cherche les conditions (sur a et ) pour que . Or le corrigé calcule pour que ce soit égal à 1. C´est cela qui me chiffonne.
Moi j´ai fait comme cela:

car Y_n est F_n-mesurable et X_n+1 est indépendante de F_n. Ensuite je vois les conditions pour que E(X_n+1) soit égal à 1. Le corrigé calcule les conditions pour que E(X_n+1) - 1 = 1.
Je me demande alors s´il ne s´agit pas d´une erreur du corrigé.

[invite986312212]

ça ressemble à une erreur en effet.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

bon je vais demander au prof. Merci bien