Equation d'une Bissectrice

[invite241f5934]

Bonjour !

J'ai abandonné l'idée de trouver le centre d'un polygone irrégulier et ai pensé à une autre méthode que je pourrais utilisée.

En fait je souhaite dessiner à l'intérieur d'un polygone un polygone identique mais plus petit et à l'extérieur le meme polygone en plus grand. Pour cela, utiliser les bissectrices en chaque sommet du polygone de départ serait une bonne méthode. Je place les point à une certaines distance du point de base sur la bissectrice en chaque point, je les lie et j'obtiens un polygone plus petit et un plus grand.

Maintenant je n'arrive pas a trouver d'équation de la bissectrice de l'angle ABC en fonction de la position des 3 points A,B et C. Je pense qu'il faut partir de la propriété d'équidistance de la bissectrice a deux demi droite. Quelqu'un a une piste ?

Merci
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[.:Spip:.]

je pense que les complexes pourraient bien nous aider dans l'affaire. En choisisant un repere othogonal centré en B par ex. Avec BC comme vecteur unitaire u , et puis un vecteur unitaire v...

non ? ,c'est pas une bonne idée...

tu mets sous la forme

[matthias]

pas besoin de complexes.
Si tu as 3 points A, B et C, et si tu connais leur coordonnées, tu peux trouver la bissectrice issue de A de la manière suivante:
Tu définis les points B' et C' tels que:
et
La médiatrice du segment [B'C'] est la bissectrice recherchée, donc il suffit de trouver les points M tels que:

ce qui doit donner immédiatement l'équation de la bissectrice.

Mais sinon, tu peux prendre un point intérieur à ton polygône et faire une bête homotétie.

[shokin]

En effet, il n'y a pas besoin des complexes.

Ce que dit Matthias est valable parce que nous sommes dans des polygones réguliers, donc ABC est un triangle isocèle.

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Ce que dit Matthias est valable parce que nous sommes dans des polygones réguliers, donc ABC est un triangle isocèle.

Non. Les points B' et C' sont justement définis de manière à ce que le triangle AB'C' soit isocèle. Le triangle ABC ne l'est pas nécessairement.

[shokin]

Oups, j'avions compris juste, mais m'était mal exprimé.

M'enfin ! le problème semble résolu.

Shokin

[Vin'Z]

Salut Matthias,
J'ai une question concernant cette étape :

Tu définis les points B' et C' tels que:
et

D'après ce que je comprends, elle nous permet de trouver un triangle A B' C' isocèle en A sur lequel on confond on trouve la bissectrise de l'angle  au moyen de la mediatrice de B'C'.
Les points B' et C' doivent respectivement appartenir aux droites (AB) et (AC).
Je ne comprends pas en quoi diviser un vecteur par sa norme permet de trouver de tel points ? (Je ne met pas en doute la relation mathématique, je m'interroge sur son principe ).

Sans sans doute tout bête, mais j'y réfléchit depuis tout à l'heure et je ne me représente pas cette étape...

Merci pour toutes explications.

[matthias]

Diviser un vecteur par sa norme, s'appelle usuellement normer le vecteur, c'est à dire obtenir un nouveau vecteur colinéaire à l'ancien, de même sens mais de norme 1.
En effet:



Comme on a deux vecteur de norme 1, on a aussi deux segments de longueur 1, et donc un triangle isocèle.

[Vin'Z]

Et bien c'est le cours qu'il me manquait (ou que j'avais oublié peut-être ?! ) pour m'imaginer complètement la démarche . En y réfléchissant, c'est tout à fait logique, mais bon .

En tout cas merci de ses eclaircissements.

[invite241f5934]

Ok merci beaucoup ! J'avais pas penser a normer les vecteurs. C'est cool. Je vais coder tout ca.

[invite465e5a7d]

Ca ne servira sans doute pas a ceux qui ont posé cette question il y a 5 ans (!) mais comme ce topic est un des premiers à sortir quand on tape "équation d'une bissectrice" sur google et que certains peuvent avoir besoin d'une équation, je complète :

Soit et

On calcule d(A,B)



Puis B'



Idem pour d(A,C) et C'. Le produit scalaire devient :



On remplace B' et C' :



On simplifie :



On pose et

On obtient :



On développe



On encore



Christophe

[invite465e5a7d]

Je n'arrive pas a éditer mon propre message...
Il y a une coquille dans la derniere toute derniere ligne. La formule finale devrait être :

A noter, si on cherche l'équation de la droite sous la forme , il est plus efficace de calculer a avec la formule , puis de trouver b grâce au fait que A appartienne à la droite :