Probabilités sur un univers infini indénombrable

[invite881cd0dd]

Bonjour!

Je suis en terminale mais je crois que ce que le professeur nous a fait est du hors programme, c'est pour ça que je suis dans le forum du supérieur...

J'ai du mal à comprendre la notion d'univers infini indénombrable... Le professeur a cité l'exemple d'une pièce qu'on lancerait infiniment. Pourquoi est-ce un univers indénombrable? Je sais que c'est parce qu'il n'y existe pas de bijection. Mais concrétement, comment expliquer ça? Et quel est l'intêrét des tribus? Pourquoi ne peut-on pas reprendre la définition de l'événement comme une partie de l'univers? Est-ce parce que justement il est indénombrable? Mais qu'est-ce qu'une tribu représente?

Cela reste très embrouillé dans ma tête... Merci d'avance pour votre aide!
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[invitebe0cd90e]

Salut,

Cette phrase ne veut pas dire grand chose :

Je sais que c'est parce qu'il n'y existe pas de bijection

Une bijection ca n'existe pas tout seul, ca existe (ou non) entre deux ensembles. En l'occurence, l'univers est l'ensemble des suites infiniment (ici c'est un infini denombrable) longues de P ("pile") et de F ("face"). On note ca generalement . Tu peux aussi l'identifier a l'ensemble des applications de dans l'ensemble {P,F}. Et c'est "bien connu" et pas tres difficile a démontrer que cet ensemble est indenombrable.

Ensuite, sauf erreur de ma part, tu peux bien definir un evenement comme une partie de l'univers. Par contre, pour calculer des probabilité, puisque tu fais intervenir des ensemble infinis, tu ne peux plus simplement faire des divisions de cardinaux d'ensemble, c'est la que tu as besoin d'une tribu.

[invitebe0cd90e]

Il existe differente preuve que cet ensemble est indenombrable, le plus simple etant d'utiliser un argument diagonal "à la Cantor" comme pour R. Mais puisque on parle de pile ou face il y a un moyen plus rigolo. Je suppose que tu sais que l'ensemble des partie de est indenombrable.

Ensuite, tu peux utiliser le pile ou face pour construire des parties de : tu prends les entiers un par un, 0,1,2 etc.. et a chaque fois tu tire a pile ou face pour savoir si tu le gardes ou pas. Quand tu arrives "au bout" (donc quand tu as joué une infinité de fois a pile ou face) l'ensemble des entiers que tu as gardé est un sous ensemble de . Donc a chaque suite infinie de P ou F tu associes un sous ensemble de , et c'est assez simple de voir que tu peux tous les construire comme ca, ca qui te fournit une bijection entre ton univers et l'ensemble des parties de .

[invite4ef352d8]

Salut !

en effet, c'est très hors programe tous ca ^^

on va prendre un exemple qui sera peut-etre plus claire : comme une univers on va prendre l'ensemble des nombres réel positif. (par exemple on peut s'intéresser à l'expérience "combien de temps un certain noyaux radioactif ca mettre pour ce désintégrer" le résultat est un nombre réel positif).

Un evenement est toujours une partie de R (par exemple l'évènement "le noyaux mettra entre 10 et 20 secondes à se désintégrer" ). mais est-ce que si je prend n'importe qu'elle partie de R je peut définir sa "probabilité" ?

et bien pas forcement !

en gros on va avoir une fonction de répartion f (dans le cas du noyaux radioactif elle est de la forme k.exp(-kx) ) telle que l'intégral de f sur R+ tous entier soit 1. la probabilité d'un évènement P est alors

"l'intégral sur P de f" par exemple la probabilité que le noyaux se désintègre entre l'instant a et l'instant b (a<b) est l'intégrale de a à b de f.

maintenant est-ce qu'on va réussir à définir de facon raisonable l'intégrale sur P de f quelque soit la partie P ?

en fait essentiellement on en sais rien ! c'est la que la notion de tribu intervient :

une tribu c'est un ensemble de partie P "suffisement gentils" pour qu'on sache calculer l'intégrale de f sur P. sans que ca pose de problème...

et évidement la tribu doit avoir quelque propriété de stabilité : par exemple si je sais calculer l'intégrale de f sur P je sais la calculer sur le complaimentaire de P : c'est 1- l'intégrale sur P. même genre de chose avec l'intersection fini et la réunion, mais en un peu plus compliqué.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite881cd0dd]

Merci beaucoup à vous deux, ça m'éclaire un peu. Mais que dire alors des univers infinis dénombrables? je crois que je confonds la notion d'infini et "indénombrable"...

Et selon vous, est-ce que ce n'est pas une catastrophe de ne pas comprendre ce cours? Car je vais en prépa MP l'année prochaine, et on m'a expliqué que les mathématiques y étaient très abstraites... aie aie je me dis, cette leçon est représentative de ce que je ferais l'année prochaine non?

[invite4ef352d8]

Quand tu es dans le cas dénombrables, les axiome des tribus et des mesures font essentiellement que toute partie de l'univers est mesurable (ie appartiens à la tribu) donc on a pas bessoin de la notion de tribu.

en gros dans un univers dénombrable, tu as un ensemble "d'évènement minimaux" deux à deux disjoint : e1,...en,... (ce sont moralement les "points de l'univers"). chacun de ses evenements à une certaine probabilité Pn>0. et la somme des Pn vaut 1.

et si on considère un evenement E quelconque, c'est un sous ensembles de {e1,...en ... } et P(E) = somme des pn, pour e_n appartenant à E.
qui est toujours défini car la somme des |Pn| converge.

Note que d'un point de vu completement strict, un univers dénombrable n'est pas toujours de cette forme là : les "evenement minimaux e_n peuvent ne pas être réduit à un seul point de l'universe. dire qu'un des e_n contiens plusieur points reviens en gros à dire qu'il contiens plusieur évènement qui "ne sont pas distinguable par l'expérience qu'on est entrain de faire". dans ce cas, la tribu ca sera l'ensemble des parties qui s'écrivent comme réunion quelconque de certain des e_n. (les e_n forment une partition de l'univers). mais concretement cette situation est completement identique au fait de considérer que chacun des e_n est un points de l'univers...

[invite4ef352d8]

est-ce que c'est représentatif de ce que tu fera l'ans prochain ? c'est possible, après peut-etre que tu as mal compris parceque que ton prof a mal fait cette lecon, si c'est le seul truc que tu n'as pas compris pendant l'année, tu as pas trop à t'inquiéter je pense.

et d'un point de vu concret cette lecons ne te servira à rien en prépa : on ne fais pas du tous de probabilité en classe prépa scientifiques. (enfin, dans les prépa MPSI/PCSI/MP/PC/PSI en tous cas)

[invitebe0cd90e]

Comme tu le dis c'est hors programme, donc si c'est juste cette notion d'infini qui te pose probleme c'est à peu près normal.

Ensuite c'est normal que tu confondes, à ma connaissance ca n'est pas au programme non plus

l'idée, formalisée par Georg Cantor à la fin du 19e siècle est que deux ensembles infini n'ont pas pour autant necessairement la même taille. Autrement dit il existe plusieurs (en fait une infinité ) infinis "de plus en plus grand". Pour generaliser ce qu'il se passe pour les ensembles finis, on decide que deux ensembles A et B ont la "meme taille", si il existe une application bijective de A dans B, cad si tu peux former des "couples" d'élement de A et de B, de tel sorte que chaue element de A ou B apparaisse dans un et un seul couple.

Exemple typique : si tu veux savoir si tu as autant de chaises que d'invités, tu demandes a tout le monde de s'asseoir, cad que tu formes des couples (invité, chaise). Tu sais qu'il y en a le meme nombre (et donc qu'il y a une bijection entre l'ensemble des chaises et l'ensemble des invités) si tu vois qu'aucun invité n'est debout et qu'il n'y a pas de chaises vides. Et donc on fait pareil pour les ensembles infinis, meme si dans ce cas il peut se passer des choses bizzares.

Concretement, le "plus petit infini possible", le premier de la liste, c'est le cardinal (cad le "nombre d'element") de . Tout ensemble qui est en bijection avec (cad "qui a la meme taille que" ) est dit "denombrable". Tout ensemble infini "plus grand" que est dit indenombrable.

Il s'avere, meme si ca peut paraitre etrange, que est dénombrable. En revanche, est indenombrable. Et on a aussi :

- si est un ensemble fini, alors l'ensemble des suites infinies d'elements de (ce que j'ai noté ) est "de la meme taille" que (et donc "plus grand" que ).
- Si est un ensemble quelconque (fini, infini, enorme ) alors l'ensemble des parties de est "plus grand" que . En particulier, l'ensemble des parties de à la meme taille que .

Comme Cantor, tu te demanderas certainement en lisant tout ceci s'il existe un ensemble plus grand que , mais plus petit que . La réponse est bizzare, c'est "comme tu veux", ni le fait qu'il y en ai un, ni le fait qu'il n'y en ai pas, n'amene de contradiction avec les maths que tu connais.

[invite881cd0dd]

Merci encore une fois, je crois que là c'est définitivement clair... Je vois qu'avec ce sujet on touche aux limites de nos mathématiques actuelles (je parle en rapport avec la question que se pose Cantor). Peut-être qu'un de vous deux résoudra un jour cette question

Bonne continuation!

[invitebe0cd90e]

De rien, c'est vrai que c'est surprenant de voir comme d'un coup cette question part loin.

Mais pour rectifier : cette question est résolue, c'est vraiment la réponse. On ne peut pas en construire avec les maths "usuelles", mais on ne peut pas (au sens ou il est prouvé que c'est impossible) démontrer qu'il n'en existe pas. Disons que les règles de base qu'on a choisi pour faire des maths ne sont pas assez contraignates pour définir un monde unique. Tu peux choisir de vivre dans un monde mathématique avec des ensembles coincés entre les deux, ou pas, c'est toi qui décide