Intégrer une exponentielle complexe

[DarK MaLaK]

Bonjour, je n'ai pas mes exercices de l'an passé avec moi et je bloque sur le calcul d'une intégrale toute simple :



En fait, c'est surtout à cause des bornes que je suis gêné car trouver une primitive est plutôt simple mais j'ai oublié comment faire le calcul avec des bornes infinies quand on a un nombre complexe dans l'exponentielle (vu que des cosinus et des sinus interviennent). Je suis censé trouvé un résultat contenant la distribution de Dirac si je n'ai pas fait d'erreur de raisonnement auparavant...

Merci pour votre aide.
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[breukin]

Cette intégrale est un abus d'écriture de physicien.
A un coefficient près qu'on ne pourra calculer qu'en utilisant proprement la théorie des distributions, on obtiendra du
L'idée, c'est que si , on intègre la constante 1, donc ça donne l'infini, et sinon, on intègre une fonction périodique, et en moyenne, l'intégrale est nulle. Mais ça, c'est de la sauce de physicien.

[DarK MaLaK]

Ok merci, je comprends mieux pourquoi cette intégrale remplace le nombre de Kronecker dans le cas continu (vu ta réponse, tu as dû comprendre que j'étudie les diverses bases en physique quantique pour représenter la fonction d'onde). Si ce n'est pas long à expliquer, j'apprécierais une démonstration rigoureuse de mathématicien (pour quelqu'un qui ne connaît pas la théorie des distributions). Dans le cas contraire (ou en complément), si tu connais un livre qui explique bien cette théorie, je suis preneur...

[invite4ef352d8]

Salut !

J'apprécierais une démonstration rigoureuse de mathématicien (pour quelqu'un qui ne connaît pas la théorie des distributions)>>>

malheuresement il y a deux raison pour laquel tu ne pourra pas trouver ca :

1) on peut pas donner une démonstration rigoureuse que "l'intégral de ... = distributation de dirac" puisque d'un point de vue rigoureux, l'intégrale en question est justement divergente donc même pas définie ! il faudrait donner un sens à cette intégral, ie la définir en tant que distribution et non plus en tant que fonctions de p...


2) Sans connaitre la théorie des distributions, on ne peut pas définir rigoureusement ce qu'est la fonction de Dirac (enfin la distribution de Dirac) et donc on risque pas de pouvoir montrer 'rigoureusement' que quelques choses est égal à la fonction de Dirac sans parler de théorie des distributions.

Tous ca pour dire, que tu as deux options :
- lire un résumé sur la théorie des distributions : ce n'est pas quelque choses de si compliqué que ca et après ca tu sera apte à faire de genre de calcule sans problème.
-cherche une autre référence sur ce que tu veux étudier qui n'utilise pas la théorie des distributions (mais je ne suis pas sûr que ça existe).

enfin dans tous les cas, bonne chance ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Merci pour ta réponse, Ksilver, mais j'avais compris (intuitivement) que mon intégrale n'était pas rigoureusement égale à la distribution delta, vu qu'elle est divergente... En fait, vu que c'est quand même Dirac qui a introduit tout ce formalisme pour la physique quantique, je pensais qu'il y avait un moyen de tout redéfinir rigoureusement (je serais étonné que Dirac n'ait pas utilisé rigoureusement son propre formalisme). Donc quand tu dis qu'il faudrait redéfinir l'intégrale dans le sens d'une distribution, c'est en fait ce que j'aimerais qu'on m'explique. Je vois à peu près la différence entre une fonction et une distribution (la distribution est une fonction bizarre, pas définie au sens habituel), et si une explication assez rapide (je dis ça pour épargner des efforts à celui qui voudra bien m'aider car si on peut me l'expliquer sur 10 pages, ça ne me dérange pas) est possible, j'aimerais qu'on me la donne.

Sinon, peux-tu me dire quels sont les pré-requis pour bien comprendre la théorie des distributions ? (tout ce que j'ai vu, c'est la définition de la distribution de Dirac par une intégrale et les propriétés qui en découlent, mais, en général, je n'ai pas trop de difficultés à comprendre les maths si je possède les pré-requis)

[breukin]

Non, Dirac a utilisé sa "fonction" sans fondement mathématique précis, et c'est Laurent Schwartz qui a formalisé la chose en 1950.
C'est justement parce que ça fonctionnait bien et qu'une cohérence des résultats qu'on en tirait existait qu'un formalisme a pu être mis en place.

[DarK MaLaK]

Merci, je ne savais pas : on ne nous apprend pas tellement la chronologie des découvertes... Mais donc, depuis que tout est formalisé rigoureusement, on peut faire le calcul de manière exacte en utilisant la théorie des distributions, non ?