Géométrie

[invite0ec52f9e]

Bonjour et par avance, merci de votre aide et correction. Niveau 3ème

Dans la cour du Louvre a été construite récemment une pyramide en verre. C’est une pyramide régulière à base carré. On appellera ABCD le carré de base, de centre O et S le sommet de la pyramide, H est le milieu de [AB] , AB = 34 m et la hauteur de la pyramide est 21 m

a)Faire une figure

b)Démontrer que la droite (SH) est perpendiculaire à la droite (AB)

H coupe AB en son milieu, O est le centre du carré ABCD. HO est la médiatrice HO perpendiculaire à la hauteur OS .
La pente issue de la hauteur S est HS , la pente HS, coupe en son milieu la droite AB et est donc perpendiculaire à AB par convention géométrique.

c)(SO) est perpendiculaire à (AC) et (BD). Pourquoi ?

La hauteur issue de S est SO , o étant le centre du carré ABCD, les diagonales du carré ABCD sont AC et DB se rejoignent en leur milieu en O , on en déduit donc que la hauteur SO est perpendiculaire des diagonales du carré en leur milieu de centre o. AC est perpendiculaire à SO et DB est perpendiculaire à DB.

d)Calculer OH et SH ainsi que l’aire de la partie vitrée. ( Triangles latéraux), en m2 , puis en hectares (1ha = 104 m2))

H étant le milieu de AB et O le centre de ABCD , Oh est égale à la moitié d’une longueur , OH = 1,7 cm

Quel est la longueur de la pente SH ?
Pour l’instant suis-je dans la bonne voie ?
Pour la figure, étant donné que je ne peux faire des figures en relief, la figure sera un carré ABCD….Toute fois qu’elles sont les unités de mesure, on nous parle de Mètres 34m et 21m , j’ai pris 3,4 cm et 2,1 cm est-ce juste ?
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[matthias]

b)Démontrer que la droite (SH) est perpendiculaire à la droite (AB)

H coupe AB en son milieu, O est le centre du carré ABCD. HO est la médiatrice HO perpendiculaire à la hauteur OS .
La pente issue de la hauteur S est HS , la pente HS, coupe en son milieu la droite AB et est donc perpendiculaire à AB par convention géométrique.

Je ne comprends rien à cette démonstration. Qu'entends-tu par convention géométrique ?
Tu devrais plutôt t'interroger sur ce que signifie une "pyramide régulière" en terme de longueurs et voir ce que tu peux en tirer.

[invite4b9cdbca]

Petite question. Avez vous vu les theoremes de la geometrie dans l'espace ? (une droite est perpendiculaire a un plan si et seulement si elle est perpendiculaire a deux droites secantes de ce plan) Si oui, tu peux l'utiliser pour la seconde question, ce qui te fait une demo plus courte.

Pour la figure, je pense qu'il serait plus interessant de donner une representation en perspective cavaliere.

[invite0ec52f9e]

Bonjour

Oui, Kron on a étudié la Géométrie dans l'espace du type =

Soit une droite D sécante à un plan P en A (on dit quelle y perce le plan). Si elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan qui passent par A, on dit que la droite D est perpendiculaire à P .

Par convention, j'entends propriété .

La pyramide réguliere a ses arretes égales, et ses faces qui sont des triangles isocéles sont égaux entre eux, non ? Mais sa démontre pas que SH perpendiculaire à (AB)

Et pour la D , comment calculer OH et SH et l'aire...

Dsl j'ai mis du temps à répondre, mais je suis un peu perdu et faut que j’ai terminé cette exercice avant demain soir, si possible !

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

La pyramide régulière a ses arêtes égales, et ses faces qui sont des triangles isocèles sont égaux entre eux, non ? Mais ça ne démontre pas que (SH) perpendiculaire à (AB)

Ben on en est pas loin, quand-même.

[invite0ec52f9e]

Bonsoir et merci de m’avoir répondu, désolé pour les fautes d’orthographes, je me relis rarement !

Et une question, les unités de mesure pour la figure, en mètres dans l’énoncé 34 m et 2,1 m, me confirmez-vous que je peux prendre comme unité ou échelle de mesure 3,4 cm et 2,1 cm.

La hauteur S passant par le centre de la base O est perpendiculaire au plan. Soit la hauteur H sécante à un plan ( base carrée ABCD) en O (on dit quelle y perce le plan). Si elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan qui passent par O, on dit que la hauteur H est perpendiculaire à O. Or la pyramide régulière a ses arrêtes égales, et ses faces qui sont des triangles isocèles sont égales entre eux. Le point H étant le milieu de [AB], sachant que SO la hauteur est perpendiculaire a la base, on en déduit donc que la pente SH est démontré et que SH est perpendiculaire à (AB)

Non ? Merci !

[matthias]

Tu n'as pas besoin de passer par O. Le fait que SAB est isocèle en S est suffisant.

[invite0ec52f9e]

Ok, et pour la question c, (SO) est perpendiculaire à (AC) et ( BD). Pourquoi ?
Ai-je bien répondu ?

Sinon désolé de persister…mais pour 34 m et 21 m ? Alors 3,4 cm et 2,1 cm , non ?

Pour la dernière question … Calculer OH et SH ainsi que l’aire de la partie vitrée. ( Triangles latéraux), en m² , puis en hectares (1ha = 10⁴ m² )

Pour moi OH = la hauteur, on sait que la hauteur = 21 m ( ou 2,1 cm , si vous confirmez mes dires…)

SO² + OH ² = SH²

SO= 2,1 cm ou ( 21 m…toujours cette interrogation d’unité de mesure)
Et Oh on sait que O est le milieu de la basse , est on sait que AD = 3,4 cm ( ou 34m)

Donc 3,4/2 = 1,7

SH = 1,7 cm ou 17 m

Aire de la partie vitré est la totalité des airs des triangles latéraux, qui sont isocèles .

Aire d’un triangle isocèle = ( base x hauteur)/2

Base = 34 m ou 3,4 cm
Hauteur = 21 m ou 2,1 cm

(34x21)/ 2 = 357 m ²
ou
(3,4 x 21)/2 = 3,57 cm ²

En outre il y a 4 face latérales, puisque la base est carrée .

4 x 357 = 1428 m²

ou

4 x 3,57 = 14,28 cm²

On sait que 1ha = 10 ⁴ m²

Puis en hectares, euhh je ne sais pas trop, mais sa ne doit pas faire un hectare, je pense , non ?

Merci !

[Duke Alchemist]

Salut !

a) Pour le schéma, tu n'as pas besoin d'échelle précise puisque ça va être en perspective !
Rapidement (mais soigneusement) :
- tu dessines un parallèlogramme (ABCD) (= ton carré en perspective).
- tu traces les diagonales qui se coupent en O.
- tu traces la verticale (vers le haut de ta feuille, c'est plus judicieux !) passant par O.
- place ton point S (qui appartient à cette (demie-)droite) puis trace les segments [SA], [SB], [SC] et [SD].
VOILA UNE BELLE PYRAMIDE ! (non?)

b) La pyramide est régulière, donc le triangle ASB est isocèle en S.
H est le milieu de [AB]. La droite (HS) passe par le milieu du côté AB et par le sommet opposé S : (HS) est donc la médiane mais aussi et surtout la médiatrice (ou la hauteur) (Voir les propriétés d'un triangle isocèle)
Donc : (SH) perpendiculaire à (AB)

c) S est à la verticale de O sonc (SO) est perpendiculaire au plan ABCD donc (SO) est perpendiculaire à toute droite de ce plan donc à (AC) et à (BD).

d) OH = 17m (=34/2)
pour SH, c'est Pythagore qui intervient

SO² + OH ² = SH²

avec SO = 21 m et OH = 17 m
(Garde les valeurs et les unités de l'énoncé !!)
donc SH² = 21² + 17² = 730 d'où SH = 27 m

Aire de la partie vitré est la totalité des airs des triangles latéraux, qui sont isocèles .
Aire d’un triangle isocèle = ( base x hauteur)/2

OK !
L'aire de ASB est donc de 27*34/2 = 459 m²
L'aire de l'ensemble est donc de 4*459 = 1836 m² = 0,1836 ha
(Fais un tableau de conversion en y faisant apparaître m² et ha !)

Duke