Assertion ni vraie ni fausse

[invite2b18a7fa]

Bonsoir à tous

J'ai un ptit soucis avec le raisonnement suivant : si on a une application f de l'ensemble vide dans l'ensemble vide, et qu'on cherche à montrer sa (non) surjectivité à l'aide de la définition : .

Si on considère cette définition et sa négation, on a , et dans les deux cas l'assertion serait fausse ?

Plus sérieusement, j'aimerais savoir dans quelle "branche" des mathématiques il existe de telles assertions, et quel niveau il est nécessaire d'avoir pour les approcher.

Merci d'avance !
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[invite4ef352d8]

Salut !


toute proposition de la forme "pour tous x appartenant à vide P(x) " est toujours vrai.
le fait que P(x) est une proposition qui "serait fausse pour n'importe qu'elle x" n'as aucun sens, puisque il n'y a justement aucun x pour savoir si c'est le cas ou non...

[invite4ef352d8]

Des propositions qui sont "ni vrai ni fausse" ca existe. c'est ce qu'on appelle des propositions 'indécidable'. un exemple typique est (dans la théorie des ensemble) :




On peut prouver qu'on ne peut ni démontrer cette proposition ni démontrer son contraire. la methode pour cela est de construire deux "modèle" de la théorie des ensembles : un dans lequel la proposition est vrai, et un autre dans lequel elle est fausse.

mais il faut être très prudent avec cette notion qui est assez subtile et qui est très souvent mal vulgarisé. Notement dire qu'une proposition est indécidable est toujour relatif à un système d'axiome (ici les axiomes de la théorie des ensembles).

[invite2b18a7fa]

D'accord c'est bon à savoir mais j vais attendre d'être plus à l'aise avec la logique habituelle avant d'approfondir tout ca.=p

Sinon, pour la surjectivité de f, je sais qu'une proposition de la forme "il existe x appartient a vide, P(x)" est fausse alors que "pour tout x appartient a vide, P(x) est vraie". cf ce post http://forums.futura-sciences.com/ma...mble-vide.htmlMon soucis ici c'est qu'on a a la fois pour tout x appartient a vide et il existe x appartient a vide. Donc si j'ai bien compris, "l'important" est donc la place des quantificateurs dans la phrase et donc dans mon cas ici mon application est surjective ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

tous a fait ! (tu dois savoir qu'en règle général l'ordre des quantificateur est quelque chose de très important... )


la proposition est de la forme "Pour tous x appartenant Vide P(x)" le fait que P(x) soit "toujours faux" (puisqu'elle commence par "il existe y appartenant à vide") n'est pas pertinent puis qu'on sais que toute proposition de la forme "Pour tous x appartenant Vide P(x)" est vrai quelque soit le predicat P.

[invite2b18a7fa]

D'accord merci beaucoup !

[Médiat]

la methode pour cela est de construire deux "modèle" de la théorie des ensembles

Personnellement, je serais ravi déjà d'en voir un

[invite4ef352d8]

certe... " en supposant qu'on ai un modèle un ZF donné ..."