Convergence d'un produit de matrices

[invite72085404]

Bonjour
Voici un problème qui semble plus compliqué que initialement prévu...
Soit et deux matrices diagonalisables sur , ayant 1 pour valeur propre de multiplicité 1, et leurs autres valeurs propres de module strictement inférieur à 1.
Si on se donne une suite de nombres entiers strictement positifs

Est-ce que la suite et converge pour tout choix de la suite ?

Je serais tenté de dire que si les vecteurs propres associés aux 2 matrices pour leur valeur propre 1 sont colinéaires, alors l'application correspondante converge vers la projection sur ce vecteur propre, et vers l'application nulle sinon.

Problème, je n'arrive pas à le démontrer... Si quelqu'un à une idée

Merci d'avance
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

Non c'est faux.

par exemple, prend

et


alors on a


la trace de cette matrice étant >2, au moins une des deux valeurs propres est >1 et donc, il existe au moins un vecteur v tel que

[invite72085404]

Salut !

Non c'est faux.

par exemple, prend

et


alors on a


la trace de cette matrice étant >2, au moins une des deux valeurs propres est >1 et donc, il existe au moins un vecteur v tel que

Haaaa, tu ruines tous mes projets !!!!
Merci beaucoup Ksilver pour ta réponse rapide.

[invite4ef352d8]

désolé ^^

ceci dit, si tu suppose que les matrices commutent ca marche (mais c'est trivial),

plus subtile, je pense que si on suppose les deux matrices normale (comutant avec leur transposé) alors il y a une chance que ca soit vrai... (mais c'est pas sûr non plus)

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

salut,

un autre cas : si on suppose les valeurs propres positives ou nulles en plus de module inférieur à 1
alord on diagonalise dans des bases orthonormales et les matrices de passages conservent la norme alors que les matrices diagonales la font diminuer,

donc ça converge comme tu l'as dit untitled

[invite4ef352d8]

"diagonalise dans des bases orthonormales" >>> pour ca il faut supposer que les matrices sont normale (dans C, diagonalisable en base orthogonal pour le produit scalaire hermitien est équivalent à normale). c'était plus ou moins mon idée dans le post précedent

[acx01b]

ok, je n'avais pas fait le lien,
l'argument de la norme qui diminue est valable pour des matrices réelles uniquement non ?

[invite4ef352d8]

Je sais pas, j'ai pas trop réfléchie, disons que si je voulais le prouver je commencerai par le cas des matrices symétriques réel (ie celle qui sont diagonalisable en base orthonormale à valeur propre réel) parceque c'est plus intuitif. mais si la démonstration marche effectivement dans ce cas, elle devrait ce généraliser au cas des matrices normale (celle qui sont diagonalisable en base orthogonal pour le produit scalaire hermitien) après tout les matrices orthgonal pour le produit scalaire hermitien sont aussi celle qui conserve la norme (hermitienne) donc bon...


(PS : normale veut dire "qui comute avec sa transposé conjugué" dans le cas complexe en fait... )