intégration sur des complexes

[Bartolomeo]

Bonjour,

soit la serie entière de rayon de convergence 1. Pour , est un chemin continu est différentiable, qui décrit un tour dans le sens positif du cercle .

Comment montrer:
?

Cordialement.
Bart
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[invite57a1e779]

Avec les résidus...

[Bartolomeo]

Avec les résidus...

je maitrise pas encore les résidus. N´y a t´il pas une autre méthode?

[invite4ef352d8]

Oui il y a un autre moyen :

tu as une intégrale de la forme f(z) * 1/(1-z) * z^(-n-1)

f(z) tu sais le déveloper en série entière, 1/(1-z) aussi. tu peut exprimer le dévelopement en série de f(z)/(1-z) = somme des ck z^k grâce à un produit de Cauchy.


tu te retrouve à devoir intégrer (somme des ck *z^k)/z^(n+1) autour d'un cercle, pose alors z=r.exp(ix), et fais le calcule en permutant la somme l'intégrale (convergence normale si r<1 ) : tout les terme de la somme seront nul après intégration sauf 1 qui donnera exactement ce que tu veux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bartolomeo]

Oui il y a un autre moyen :

tu as une intégrale de la forme f(z) * 1/(1-z) * z^(-n-1)

f(z) tu sais le déveloper en série entière, 1/(1-z) aussi. tu peut exprimer le dévelopement en série de f(z)/(1-z) = somme des ck z^k grâce à un produit de Cauchy.


tu te retrouve à devoir intégrer (somme des ck *z^k)/z^(n+1) autour d'un cercle, pose alors z=r.exp(ix), et fais le calcule en permutant la somme l'intégrale (convergence normale si r<1 ) : tout les terme de la somme seront nul après intégration sauf 1 qui donnera exactement ce que tu veux.

Merci pour le coup de main! Malheureusement, je reste bloqué mais je ne vois pas où est l´erreur.

Puisque et (car |z|<1)
En utilisant le produit de Cauchy, puisque une des 2 séries converge absolument (Théorème de Mertens), je peux écrire:
.

Cela nous donne:

en posant z=r.exp(ix) j´obtiens:

en simplifiant un peu:

Le calcul de l´intégrale donne:


Cordialement.

[invite4ef352d8]

Salut !

il n'y a (quasiement) pas d'erreur.


1^(qqch) tu dois pouvoir le simplifier quand meme non ? ^^


en revanche il y a une 'petit' erreur, c'est que une primitive de exp(ax) est exp(ax)/a seulement si a est non nul ! si a=0 c'est x la primitive...

tes calcule serons plus simple si tu ecris directement que si n est un entier alors l'intégrale de 0 à 2Pi de exp(inx) = 0 si n est différent de 0 et = 2Pi si n=0...

[Bartolomeo]

Salut !

il n'y a (quasiement) pas d'erreur.


1^(qqch) tu dois pouvoir le simplifier quand meme non ? ^^


en revanche il y a une 'petit' erreur, c'est que une primitive de exp(ax) est exp(ax)/a seulement si a est non nul ! si a=0 c'est x la primitive...

tes calcule serons plus simple si tu ecris directement que si n est un entier alors l'intégrale de 0 à 2Pi de exp(inx) = 0 si n est différent de 0 et = 2Pi si n=0...

Donc si pour l´équation numéro (3), j´admais que k-n-2 est différent de 0, alors j´obtiens:


Si par contre k-n-2=0 (ce qui arrivera pour k=n+2) l´équation numéro (3) me donne:


Ca se rapproche mais cela ne colle pas encore avec le résultat à montrer soit:


Qu´est ce que j´ai oublié? puisque que .

[invite4ef352d8]

Tu ecris des choses très bizard dans ton dernier post, ton avant dernière lignes n'a aucun sens à priori : l'idée c'est que tu as une somme d'intégrale dont tout les termes vont être nul (car intégrale de exp(kix) entre 0 et 2pi) sauf un, et c'est ce terme là qu'on doit calculer. là je sais pas d'ou tu sort une somme sur k de 0 à l'infini de Ck que tu remplace par la somme de k=0 à n de ak : ca n'as aucun sens :S


sinon il y a aussi une petit erreur dans ton changement de variable : tu t'es trompé en ecrivant dz en terme de dx...

[Bartolomeo]

Tu ecris des choses très bizard dans ton dernier post, ton avant dernière lignes n'a aucun sens à priori : l'idée c'est que tu as une somme d'intégrale dont tout les termes vont être nul (car intégrale de exp(kix) entre 0 et 2pi) sauf un, et c'est ce terme là qu'on doit calculer. là je sais pas d'ou tu sort une somme sur k de 0 à l'infini de Ck que tu remplace par la somme de k=0 à n de ak : ca n'as aucun sens :S


sinon il y a aussi une petit erreur dans ton changement de variable : tu t'es trompé en ecrivant dz en terme de dx...

C´est parce que
où .

En fait j´aurais dû écrire .

Je dois encore vérifier mon changement de variable. Mais je ne suis pas sûr de comprendre.

sauf un, et c'est ce terme là qu'on doit calculer

mais c´est un produit avec une intégrale qui vaut 0, donc le tout vaut 0?

[invite4ef352d8]

"mais c´est un produit avec une intégrale qui vaut 0, donc le tout vaut 0? " >>> euh oui... quand l'un des termes d'un produit vaut 0 le tout vaut 0 ... (c'est ma facon de dire "je comprend pas ce que tu es entrain de dire" ^^ ). tout les termes de la somme sont nul sauf un (k=n) et c'est ce terme qui t'interesse (note que cn =somme de k=0 a n de ak )

[Bartolomeo]

Pour k=n j´ai:

.
Puisque k=n:
et

cela me donne
. Ca ne colle pas avec ce que je dois trouver, soit:
.

je me suis un peu embrouiller, je ne retrouve pas mon erreur de raisonnement.

[Bartolomeo]

je viens de comprendre! Il n´est plus question de parler de somme étant donné que k=n et que tous les autres termes sont nuls.
Je suis un peu lent pour comprendre! Merci beaucoup pour ton aide!

J´avoue qu´il y a (faute de recul) une question qui reste: Que dois je retenir de cet exercice d´entrainement?

Cordialement.
Bart

[invite4ef352d8]

Que dois je retenir de cet exercice d´entrainement? >>


beaucoup de chose ! la technique utilisé pour calculé l'intégrale est applicable quasiement à chaque fois que tu veux calculer une intégrale selon un cercle et souvent c'est la seul qui marche. Bon d'accord, quand tu aura vu le théorème des résidu tu aura une methode plus général pour n'importe quelle intégrale selon un lacet fermé... mais la preuve du théorème des résidus repose sur un calcule de ce genre au fond.

[invite4ef352d8]

Typiquement, cette méthode permet de calculer :

l'intégrale sur gamma_r de f(z)/z^(n+1) dz

ou f est une fonction développable en série entière (sur un disque de rayon >r) et gamma_r est n'importe qu'elle cercle de rayon r.

si tu as le temps de regarder cette exemples, tu comprendra peut-etre mieux en quoi la méthode est général...