Calcul de Primitive de forme rac(x²-1)

[alpagas]

Bonjour

Je suis bloqué sur le calcul de primitive suivant
rac(x²-1)
j'essaye d'éffectuer le changement de variable suivant :
x=cosh(t)
rac(x²-1)=sinh(t)
dx = sinh(t)

j'obtiens primitive de sinh(t)²...

L'enoncé précise qu'il faut procéder avec une intégration par partie et une astuce à trouver, mais la je vois pas trop

Merci pour votre aide
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[Thorin]

Salut,

si on veut intégrer par parties, on peut écrire , il me semble, et intégrer par parties le premier terme.

[alpagas]

Je vais essayer ça
un grand merci !

[ericcc]

On peut intégrer directement par parties en posant u'=1 et v=rac(x²-1), on retombe sur l'expression x²/rac(x²-1) et on utilise l'astuce de Thorin.

Mais on peut aussi intégrer sinh² en développant sa forme exponentielle !

[A voir en vidéo sur Futura]

[alpagas]

Bonsoir

l'intégration de x²/rac(x²-1) par partie ne me mene nul part,

u=x²
du= 2x

dv= 1/rac(x²-1)
v= ln|x+rac(x²-1)|

donc j'ai
x²ln|x+rac(x²-1)| - 2 * primitive de x * ln|x+rac(x²-1)|

avec une deuxieme IPP

u=x
du=1

dv =ln|x+rac(x²-1)|
v= (x+rac(x²-1))ln|x+rac(x²-1)|-(x+rac(x²-1))

ce qui n'est pas vraiment génial....
Des idées ?

[Thorin]

salut, il faut intégrer avec u=x et v=x/racine(x²-1)

[alpagas]

soit,

mais si
u=x
du=1

dv=x/rac(x²-1)
v=une autre IPP insoluble...

et dans l'autre sens
u=x/rac(x²-1)
du=-1/((x²-1)(rac(x²-1))

dv=x
v=x²/2

et je ne vois toujours pas comment faire aboutir mon calcul

[alpagas]

peut-etre en remplaçant dans primitive de x/rac(x²-1)
x=sinh(t)

rac(x²-1)=cosh(t)
dx=cosh(t)

j'obtiens primitive de x/rac(x²-1) = cosh(t)+C
et comme t= arcsinh(x)
primitive de x/rac(x²-1) = cosh(arcsinh(x))

donc dans mon résultat
primitive de x²/rac(x²-1)

u=x
du=1

dv=x/rac(x²-1)
v=cosh(arcsinh(x))

d'ou

primitive de x²/rac(x²-1) = x*cosh(arcsinh(x)) - primitive de cosh(arcsinh(x))
que je ne sais pas résoudre...

[Thorin]

on en déduit

[alpagas]

merci thorin t'es une star !