P(n) nombres premiers

[invite78db18db]

Bonjour à tous,

je bloque sur un exercice de maths depuis pas mal de temps, pourtant la propriété à montrer semble assez grossière...


Remarques :
Un nombre de Fermat c'est un entier F(n)=2²ⁿ+1
P(n) est le cardinal de l'ensemble des nombres premiers inférieurs à n

1/ Montrer que deux nombres de Fermat sont premiers entre eux (ça c'est bon)
2/ En déduire que l'ensemble des nombres premiers est infini (infinité des nombres de Fermat et donc des nombres premiers qui interviennent dans le développement en facteurs premiers... ok)
3/ Montrer qu'il existe a et b tq P(n)>= aln(ln(n)))+b
a et b sont positif, a est non nul évidemment.

Je sais que P(n) est beaucoup plus grand que ln(ln(n)) mais là je n'y arrive pas, en fait je ne vois pas le rapport avec ce qui précède et je suis certain que c'est assez simple...

Si quelqu'un pouvait m'éclairer

Merci d'avance.
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[invite4ef352d8]

Salut !

Le fait que tous les nombres de fermat soit deux à deux premier entre eux nous dit que leur diviseur premier sont distinct.

ainsi, il y a au moins autant de nombre premier inférieur à n que de nombres de fermat inférieur à n (puisque chaque nombre de fermat a un diviseur premier et que les premier obtenue ainsi sont deux à deux distinct)

et le nombre de nombre de fermat inférieur à n ce calcule assez facilement et est plus ou moins de la forme anoncé....

[invite78db18db]

ça ok mais pour arriver au log de log je bloque... parce que a priori on peut dire que
P(Fn)>n mais...

[invite78db18db]

ça ok mais pour arriver au log de log je bloque... parce que a priori on peut dire que
P(Fn)>n mais...

ok au temps pour moi,


merci de ton aide !

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