démonstration dans les complexes

[Bartolomeo]

Bonjour,

Voilà le petit problème que je cherche à résoudre. Un grand coup de main serait le bienvenu!

Pour soit . Et soit une fonction continue avec:

avec
et R>0 un nombre réel. Comment montrer que



où est la partie du cercle parcouru dans le sens positif |z|=R qui se trouve dans S.

Cordialement.
Bart
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[Universus]

Salut,

Ma 'réponse' n'est pas complète ; n'ayant jamais fait vraiment d'analyse complexe, je ne sais pas ce qui est rigoureusement justifié. Néanmoins, je propose une approche intuitive de la chose, en espérant que d'autres intervenants combleront les trous que j'ai laissés ou corrigeront ce qui suit, me permettant par le fait même aussi d'en apprendre.



Je présume qu'on peut permuter l'ordre de la limite et de l'intégration, ce qui donne :

[invite4ef352d8]

Salut !

Ce que dit Universus n'est pas absurde, c'est relativement correcte, le seul problème et qu'il n'est pas justifié qu'on peut echanger la limite et l'intégrale.

On peut simplifier un peu, en posant g(z)= f(z) -A/z et ainsi ce ramener au cas ou A=0.

et le gros problème, c'est qu'aucune hypothèse ne permettant de faire cette permutation n'est donné dans ton énoncé ! (rien ne permet d'appliquer le th de convergence dominé par exemple) sous cette forme ton énoncé est très probablement faux.


l'énoncé classique qui va dans ce sens est que si quand z-> l'infini
f(z) = A/z + O(1/z²) alors le résultat est vrai (c'est facile)... cette hypothèse est bien sur trop forte, mais elle est vérifier dans presque tous les cas concret.