équation dans les complexes

[invite206cea37]

Bonsoir a tous,
j'essaye de résoudre une équation mais j'y arrive pas enfin si j'y arrive je trouve des solutions mais quand je regarde la correction c'est pas bon... j'ai essayé de comprendre la correction mais je comprends pas donc voilà la correction :
Ennoncé :
(i-1)z² - (5i-11 z²) - (43+i) z + 9 + 37i = 0
résoudre l'équation sachant qu'il a une solution imaginaire pure.

Correction : un complexe de la forme i*a avec a appartenant a R est solution de l'équation si et seulement si :

-i(i-1)a^3 + (5i-11)a² - (43+i)a*i + 9 + 37i =0
c'est à dire :
a^3-11a²+a+9=0
a^3+5a²-43a+37=0
Jusque là je comprend le correcteur a simplement mis les imaginaires d'un coté et les réels de l'autre coté

<=>a^3-11a²+a+9=0
4a²-11a+7=0 (c'est précisément à cette ligne que je ne comprend plus ce qu'a fait le correcteur)

<=> a^3-11a²+a+9=0
a=1 ou a=(7/4)

Pouvez vous m'expliquez svp ce qu'à fait le correcteur ????
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[invitea0db811c]

Bonsoir,
Il a je pense remarqué que 1 était racine évidente et mis en facteur (a-1). Mais je n'ai pas encore vérifié

edit : après vérification rapide, non, c'est pas ça... Aucune idée de ce qui l'a conduit à ça ><

[invite206cea37]

surtout ce que je ne comprend pas c'est comment il a fait pour passer de a^3+5a²-43a+37=0 à 4a²-11a+7=0
sachant qu'il a un système derrière tout ça .... je vois vraiment pas....
sinon de mon coté j'ai résulu une équation de troisème ordre (concernant les imaginaire) et une autre équation de troisième ordre (concernant les reels) bon je trouve bien a=1 mais après je trouve des solution de type -5-racinede34 et -5+racinede34 enfin un truc loin de 7/4 comme la correction du prof....

[invite206cea37]

personne ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0db811c]

Je viens de comprendre

Avec la première équation : a^3 = 11a² -a - 9

Tu remplace a^3 dans la deuxième expression, et tu obtiens son équation.

[invite206cea37]

Ah ouf tu assures ! merci bcp je commençais a desespérer de ne pas comprendre cette correction.... maintenant une autre question mais si tu es fatigué ya pas de pb ça attendra... comment se fait il que quand je résoud l'équation des imaginaires et l'équation des reels j'obtiens pas les 2 solutions demandées ? enfin si j'obtient juste a=1 mais le 7/4 je le trouve pas comme ça... j'ai vérifié les erreurs de calculs éventuellement mais rien trouvé... est ce que tu penses que c'est possible de trouver quand meme les deux solutions demandées à ma manière ?

[breukin]

Si ia est une solution de l'équation initiale, alors a est solution simultanée de deux équations, et donc solution de l'équation différence des deux, laquelle est du second degré.
Bref, si ia est solution de l'équation initiale, alors a=1 ou 7/4 ; "ou" au sens "ne peut être que parmi ces deux valeurs".
Mais les deux valeurs ne fonctionnent pas nécessairement toutes les deux. De fait, seule 1 fonctionne.

Après, on factorise l'équation initiale pas (z-i).

[invitedb2255b0]

Enfait le correcteur à soustrait la seconde équation à la première, et à remarquer qu'il y avais un facteur 4 qui trainais, il a donc diviser l'equation obtenue par 4:


Ce qui est une équation enfait, car on soustrait des deux coté. On a donc en fait:
(on obtient ceci en divisant des deux coté par -4)

[breukin]

C'est bien ce que j'ai dit : "a est solution simultanée de deux équations, et donc solution de l'équation différence des deux, laquelle est du second degré".
Le fait de diviser par –4 ne fait pas partie du raisonnement mathématique, ce n'est qu'une facilité de calcul pour avoir des nombres plus petits à manipuler. On peut très bien résoudre l'équation avec –16.