Groupe commutatif

[invite8c8e4110]

Bonjour, je ne sais vraiment pas comment faire, si quelqu'un pourrait me donner une piste sa serait gentil !

Un = ( racine nieme de 1 )

Montrer que Un muni de la multiplication est un groupe commutatif.
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[invite4ef352d8]

Salut !

et bien il s'agit de regarder la définition de ce qu'est en groupe et de vérifier que s'en est un en examinant succesivement tous les axiomes. note que si tu sais déja que (C*,*) est un groupe tu peux montrer que Un en est un sous groupe, ce qui est toujours plus simple...

[invite8c8e4110]

Oulalala je commence seulement a voir sa. Je n'est jamais vu l'écriture (C*,*).

[invite4ef352d8]

C* : les nombres complexe privé de 0
* : la multiplication des nombres complexes...

ce que j'ai dit c'est que C* munie de la multiplication est un groupe, et que Un en est un sous groupe...

c'est toujours plus facile de montrer que qqch est un sous groupe plutot qu'un groupe (il y à moins de vérification à faire pour les sous groupe que pour les groupes... et puis on peut parfois le faire apparaitre comme le noyau d'un morphisme) dans tous les cas, il s'agit d'écrire tes définitions et de vérifier qu'elle marche !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8c8e4110]

Dans mon cours on me dit que les racines nieme de l'unité sont :
exp((2ikpi)/n)
Est ce que je dois me servir de cela ?

[invite8c8e4110]

Dans mon cours j'ai aussi trois propriétés en disant :
On dit que l'ensemble C muni de l'addition est un groupe commutatif.
On dit que C est muni de l'addition et de la multiplication est un corps.
On dit alors que C muni de + et x est un corps commutatif.

Je voudrais savoir la difference entre groupe et corps et qu'elle proprieté je dois utiliser svp !

[invite4ef352d8]

la différence entre un corps et un groupe... c'est que c'est pas la meme chose :S je ne peut rien faire de plus que de répéter les définitions d'un corps et d'un groupe qui sont déja dans ton cours et que tu devrais aller relire...

tous ce que tu as à faire pour cette exercice est d'écrire ce que c'est qu'un groupe ! si tu ne le sait pas, cherche dans ton cours... une fois que tu aura fais ca tu saura quoi faire normalement : tu aura une liste de propriété à vérifier, et elles seront toutes absolument immédiate.

[invite8c8e4110]

Mais je les ai les propriétés mais qu'est ce je dois faire ? des calculs ? ou juste les réécire betement ?

[invite4ef352d8]

ba tu ecris les propriété qui définisse un groupe, et tu vérifie que Un vérifie toute ces propriété betement : ie que la multiplication est bien une opération interne, qu'elle est associative etc etc... enfin tous ce qu'il y a dans ton cours quoi ! si certaine de ces propriété te pose problème dit le... mais pour le moment je ne peut rien faire d'autre pour toi que te dire ce qu'il faut vérifier... mais vu que c'est déja dans ton cours ca servirait absoluement à rien ^^

[invite8c8e4110]

J'ai fait avec toutes les proprietés mais j'ai un soucis ac l'associativité.

[invite4ef352d8]

l'assciativité c'est la plus simple : il s'agit de vérifier que si a,b,c sont trois racines de l'unité alors (a*b)*c=a*(b*c) ce qui est vrai puisque c'est vrai pour n'importe qu'elle nombre complexe...

[invitee3a6f8ba]

bon alors vla la solution d’après ma prof de maths,

U={e(2ik∏/n) ; k appartenant à Z}
quelque soit k appartenant à Z, quelque soit k’ appartenant à Z

zk * zk’ = e(2ik∏/n) x e(2ik’∏/n) = e(2i(k+k’)∏/n) appartenant à
→la multiplication est interne dans U
la multiplication est associative dans C donc elle l’est dans U
→ U appartenant à C la multiplication est associative dans C donc dans U
1= e(2ix0x∏/n) appartenant à U
quelque soit k appartenant à Z zk = e(2ik∏/n) , z-k = e(2i(-k)∏/n) = e(-2ik∏/n)
→ sont symétriques pour la multiplication (inverses l’un de l’autre)
la multiplication est commutatif dans C donc dans U

(U,x) est donc un groupe commutatif

[invitedb2255b0]

1) Un groupe, c'est un ensemble E muni d'une loi noté * qui est:
assotiative pour tout x,y,z de E
-qui admet un neutre dans E
-et tout x de E admet un symetrique dans E.
C'est à dire que:
-Pour tout x,y,z de E: (x*y)*z=x*(y*z)
-il existe un e tel que pour tout x de E x*e=x
-tout élement x de E admet un symetrique x^(-1) telque x*x^(-1)=e

On note alors: (E,*). Par exemple (C,+) est un groupe.
De plus, si tous les élements de (E,*) commute, c'est à dire que pour tout x,y de E, x*y=y*x on dit que (E,*) est un groupe commutatif.

2) Lorsque l'on munit un groupe d'une seconde loi de composition interne qui est assotiative, qui admet un neutre et qui est distributive sur la première, (par exemple, si on prend la loi noté par l'absence de symbole, on a pour tout x,y,z de E: (y+x)z = yz+xz) alors on notre nouvelle structure est appeler Anneau.
On note alors l'anneau (E,*,.). Par exemple (Z,+,.) est un anneau.

3)Enfin, si la seconde loi de composition interne d'un anneau admet pour tout élement de son ensemble, un inverse dans son ensemble, alors on dit de (E,*,.) est un Corps.

Bref, tu devrais ajouter ces petits détails en plus.
Par exemple, on peut munir l'ensemble N des nombre entier naturels d'une addition, mais aucun élement de N d'admeterais de symetrique pour cette addition. N n'est donc pas un groupe.

[invitedb2255b0]

Enfin dans ton cas, il suffit de prouver que Un est un sous-groupe de C.
Voici la définition d'un Sous-groupe.

Soit (E,*) un groupe. Une partie A de E est un sous groupe de (E,*) si (et seulement si):
1)pour tout x,y de A², x*y appartient à A.
2)l'élement neutre e de * appartient à A
3)pour tout x de A, le symetrique x^(-1) de x appartient à A.

Dans notre cas E=C et Un est un partie de C (c'est un ensemble de nombre complexe).
La propriété 2) est immédiate, puisque 1 est toujours une des racine n-ième de de l'unité.
Pour la propriété 3), il suffit de faire un petit dessin pour comprendre. Si n est pair, alors quand k=n/2 on a donc les racine n-ième tel que k>n/2 pourrons s'écrire avec un k' de la forme k'=-l, l appartenant à [[0,n/2]]. Pour n impair, il suffit de prendre (n+1)/2
Bref je ne sais pas si j'ai été clair, mais en gros, quand on peut trouve un k' appartenant à [[0;n/2]] tel que
Par exemple pour n=4 on a comme racine .
Bref, ainsi donc, toussa pour dire, que comme , pour toute élément x de Un, le symétrique de x (pour la multiplication ici, on diras donc plutôt l'inverse que le symetrique) appartient à Un.

Enfin Pour la propriété 1), pour tout k,k' de {0,1,2,...,n-1}
Si (k+k') appartient à {0,1,2,...,n-1} la propriété est immédiate.
Si non, on a avec l qui appartient à {0,1,2,...,n-1} et m un qui dépendras de k et de k'. Ainsi, comme tout angle dans le plan complexe est donné à 2pi pres, notre angle est le même que et notre complexe
Ainsi donc pour tout x,y de Un, xy appartient à Un.

Donc Un est un sous-groupe de C, ce qui nous assure que:
_Un est stable pour la multiplication
_Un est un groupe pour la loi induite par la multiplication de C.

Et comme, la loi induite par la multiplication de C sur une partie stable de C est la multiplication, on en déduit de Un munit de la multiplication est un groupe. De plus, la multiplication étant commutatif, Un est un groupe commutatif.

CQFD ! =D

J'ai détailler, parceque j'aime bien quand les choses sont clairs, mais on peut surement faire plus simple.