Théorème de Bézout faible

[invitef1b93a42]

Bonsoir,
En considérant le système et avec P et Q polynômes en les variables et , et en considérant le résultant de P et Q, noté , j'ai montré que avec degré total de P et degré total de Q, on a que P et Q premiers entre eux dans avec , je voudrai prouver que le système de départ à au plus solutions. J'ai déjà montrer que le système a un nombre fini de solutions.Si les abscisses solutions du système sont différentes, le résultat vient directement avec la majoration de , je cherche donc à prouver le théorème de Bézout en revenant à des mêmes abscisses, auriez-vous une idée svp ?
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[invite8a80e525]

Bonsoir,

pour que ce que tu as fait soit vrai, il faut supposer que le degré total de P et Q est le même que le degré de P et Q vu comme polynômes en Y à coefficients dans K=C(X).
(Par exemple avec et , il y a une infinité de solutions)
On suppose donc que c'est le cas.

Si sont solutions, il faut montrer que x est racine de degré au moins k de R.
On considère



Tu dois savoir que le déterminant de dans les bases canoniques est (il suffit de regarder sa matrice).

L'idée, c'est de poser
et de considérer la base de :
.

En regardant le déterminant de dans la base canonique de et dans tu vas pouvoir t'en sortir.