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theoreme de Bezout



  1. #1
    Kelm

    theoreme de Bezout


    ------

    joré besoin de votre aide je fé des annales en vue du bac et la je tombe sur un exo dont g la correction mais celle ci n'explique rien ...

    donc voila le probleme

    prouver que au + bv=1 avec u et v dans N
    si et seulement si a et b sont premier entre eux a savoir
    pgcd(a;b)=1

    -----

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  3. #2
    kNz

    Re : theoreme de Bezout

    L'identité de Bezout répond directement à ta question, énoncé comme suit :

    En arithmétique, l'identité de Bézout, d'après le nom du mathématicien Étienne Bézout, est une équation diophantienne linéaire :

    ax+by=d

    où a et b sont deux entiers relatifs, d leur plus grand commun diviseur, x et y deux inconnues à valeurs entières.
    Donc si d=1, pgcd(a,b)=1

    Mais tu dois peut être le démontrer, je ne sais pas

    Cordialement.

  4. #3
    zinia

    Re : theoreme de Bezout

    Bonsoir,

    C'est toujours délicat de "démontrer" une identité de base quand on ne sais pas ce quelles sont exactement ce qui est censé être admis.
    Allons y quand même :
    identité => pgcd=1
    Si p>1 est un diviseur de a , il divise au et donc 1-bv.
    Il ne peut donc pas diviser v (car sinon, il diviserait aussi 1).
    Donc aucun diviseur de a autre que 1 ne divise b, il n'ont donc que 1 comme diviseur commun.
    pgcd =1 =>il existe u et v vérifiant...
    C'est plus compliqué, il faut faire une récurrence sur les divisions successives du plus grand par le plus petit.
    a>b => il existe q et r avec r <b vérifiant
    a=bq+r et 0<r<q (r ne peut pas être égal à 0 car sinon b diviserait a)
    Ensuite, on remplace a (ou b mais on descend plus vite avec a) par r et on recommence jusqu'à ce que r =1).
    En remontant la chaîne, on obtient les u et v
    Il faut vérifier, dans la def du pgcd et ses propirétés, si tu as le moyen d'éviter ce raisonnement fastidieux

  5. #4
    Gwyddon

    Re : theoreme de Bezout

    Sinon il existe une autre version en partant du théorème de Gauss (que l'on doit donc aussi démontrer sans bezout, bien sûr !)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bawah

    Re : theoreme de Bezout

    Bonsoir,
    (il existe u et v tq au+bv=1)=>pgcd(a,b)=1 :
    Bin il faut partir de la définition du pgcd, ie poser d tq
    d=pgcd(a,b), dire que a=a'd, etc.

    Pour l'auter sens : Utiliser l'algorithme d'Euclide.

    Voila voila.

  8. #6
    Kelm

    Re : theoreme de Bezout

    merci g pensé a ton idée bawah mais elle naboutit pas en tout cas merci pour vos reponse
    je v me debrouillé ...

  9. Publicité
  10. #7
    Bawah

    Re : theoreme de Bezout

    Si si, je t'assure que ça fonctionne !

  11. #8
    Gwyddon

    Re : theoreme de Bezout

    Citation Envoyé par Kelm
    merci g pensé a ton idée bawah mais elle naboutit pas en tout cas merci pour vos reponse
    je v me debrouillé ...
    C'est ce que t'as exposé zinia
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    homotopie

    Re : theoreme de Bezout

    Citation Envoyé par Kelm
    merci g pensé a ton idée bawah mais elle naboutit pas en tout cas merci pour vos reponse
    je v me debrouillé ...
    Tu veux dire que tu n'aboutis pas Si "elle n'aboutissait pas" ça se saurait.
    Si tu te perds dans les divisions successives, tu peux essayer par une récurrence bien posée :
    Comme au+bv=(-a)(-u)+bv=au+(-b)(-v)=(-a)(-u)+(-b)(-v)
    on peut choisir a et b positifs : parmi les couples (a,b) (-a,b) (a,-b) (-a,-b) il y en a toujours un formé par deux positifs
    Hypothèse de récurrence pour n : pour a et b premiers entre eux avec b<=n, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv=1
    Pour n=0, pgcd(a,0)=a (les diviseurs communs de a et de 0 sont les diviseurs de a, tous les nombres divisent 0) donc a=1 et a.1+b.0 convient
    Supposons l'hypothèse vraie pour n>0
    Soient a et b 1ers entre eux avec b<=n+1
    si b<n+1 on applique l'hypothèse de récurrence,
    si b=n+1, on effectue la division euclidienne :
    a=bq+r avec 0<=r<b<n+1 donc r<=n
    Un diviseur de b et de r divise a=bq+r
    Un diviseur de b et de a divise r=a-bq
    Les diviseurs communs de a et de b sont les mêmes que ceux de b et de r donc pgcd(b,r)=pgcd(a,b)=1
    on peut appliquer l'hypothèse de récurrence à b et r : il existe u et v tels que bv+ru=1
    et en remplaçant r par a-bq
    on a bv+(a-bq)u=au+b(v-qu)=1
    l'hypothèse de récurrence est donc vérifiée pour n+1. CQFD

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