Identité de Bézout et PGCD

[invitedf60503e]

Voila j'ai un DM à faire en spe maths, et je coince vraiment sur le début ! Je vais vous mettre l'énoncé ou mes pistes :

1) Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x:

(x-1)(1 + x + x^2 + .... + x^(k) -1) = x^(k) -1

Dans toute la suite de l'exercie, on considère un nombre entier a supérieur ou égal à 2.

2) a) Soit n un entier naturel non nul et d un divisuer positif de n tel que n = dk.
Montrer que a^(d) -1 est un divisuer de a^n -1.

b) Déduire de la question précédente que 2^(2004) -1 est divisible par 7, par 63 puis par 9.


Donc pour la question 1 moi j'essai de partir sur la théorie de la suite, mais ca n'aboutit pas et ça reste flou.

Pour la question 2a) je pense qu'il faut se bazer sur la première question, mais je vosi pas trop comment.

Et pour la question 2b), j'ai écrit a^(d) -1 = 7, donc 2^(3) -1 doit diviser 2^(2004) -1 car 2^(3) -1 = 7 . Donc il faut montrer que 2^(2004) est congru à 1 (modulo 7) ou encore donc (modulo 2^(3) -1), mais ça je n'y arrive pas.

Merci donc de m'aider vraiment !
Merci d'avance !
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[invite05d0a348]

Pour la 1ere question tu peux essayer par recurrence ...

[invitedf60503e]

Oui mais je vois pas comment amorcer, je vois quel est pas suite Un la si tu veux, dans la forme que ça a, je bloque

[invite7ffe9b6a]

Pour la 1ere question tu peux essayer par recurrence ...

Inutile,
dailleur la formule dans la question est fausse,la bonne formule c'est:



Developpe à gauche et cela viendra tout seul.


Par récurrence c'est complique a faire, je l'ai d ailleur jamais fait.
En faite cette formule est une application d'une formule beacoup plus générale:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf60503e]

Oui j'obtient, du x-1 ; du x² - x ; du x^3 - x², mais après je vois pas coment continuer, surtout pour trouver quelque chose égal à x^k -1 ! pis même au niveau de la rédaction, les (...) me font bloquer ..

[invite7ffe9b6a]

on remarque que presque tous nles termes d'annulent.
Au final il reste:

x^k-1

[invitedf60503e]

a oe ok, enfet c'est es (...) qui m'arêtais, pis qu'on continue a rajouter des termes ca marchera toujours, a we ok merciii

[invite05d0a348]

J'ai eu exactement cette question en DS ... Je l'ai fait en développent comme Antho07 mais la prof ne ma pas mis tous les points car "ce n'est pas rigoureux" (a cause des "....")
Et je crois bien qu'une personne de ma classe a reussi à le faire (pdt le DS) par

[invitedf60503e]

par ..???

mais dite pour la suite vous avez pas trop d'idée ? lol

[invite7ffe9b6a]

De maniere rigoureuse cela donne:

[invitedf60503e]

Ouais je vois mieu ! mercii

Pour montrer que a^(d) - 1 divise a^(n) -1 vous aver une idée ?

Je pense au congruence, mais je vois pas trop ..

[invite1237a629]

Ou sinon, vous pensez à la formule de la somme des termes d'une suite géométrique...C'est plus "rigoureux"

[invite1237a629]

Ouais je vois mieu ! mercii

Pour montrer que a^(d) - 1 divise a^(n) -1 vous aver une idée ?

Je pense au congruence, mais je vois pas trop ..

Toujours la somme des termes d'une suite géométrique. a^n = a^(kd) = (a^d)^k