Théorie des ensemble : Quelques questions simples

[inviteedb1f4ef]

Bonjour, je me pose plusieurs questions sur la théorie des ensembles et son axiomatique ZF.

J'ai un ensemble

1/ et sont-ils des ensembles ?
1/ ie - en théorie des ensemble, les éléments d'un ensemble sont-ils des ensembles ?
1/ ie - en théorie des ensemble, tout objet mathématique est-il un ensemble ?

cette question est liée à une seconde question. Celle de l'axiome de la réunion de ZF. énoncé non formellement :
'Etant donné un ensemble , nous pouvons trouver un ensemble dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de '

cette axiome suppose (selon moi en tout cas) que dans la théorie des ensembles, tout élément d'un ensemble est lui même un ensemble.

Si je prend alors . 0 et 1 nombres entiers.
à quel ensemble et font-il référence ?

- une première idée est de dire qu'en théorie des ensemble, l'élément est aussi l'ensemble . Cela ne me satisfait guère, pour plein de raisons (il devient par exemple aisé de construire des ensembles se contenant eux-mêmes, or leur existence est supposé indécidable (d'après ce que j'ai compris)).

- une deuxième idée est de dire qu'en théorie des ensemble, un élément qui n'en contient pas d'autre (par exemple les éléments 0, 1, etc...) ne contient pas d'élément et est par conséquent l'ensemble vide. Mais cela ne me satisfait pas plus, car pour reprendre mon exemple ci-dessus, on aurait alors
A = {}
ce qui selon moi n'a pas de sens, un ensemble ne pouvant contenir deux instances d'un même élément (justement, l'axiome de la réunion devrait un peu participer à établir le fait que et non ).

Je suis donc perdu...
si quelqu'un pouvait m'éclairer, et me signaler où se situe mon erreur de raisonnement, je lui en serait reconnaissant.

merci d'avance
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[inviteea028771]

Le problème se situe tout au début. En effet, tout élément d'un ensemble n'est pas necessairement un ensemble

'Etant donné un ensemble A, nous pouvons trouver un ensemble B dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de A'

cette axiome suppose (selon moi en tout cas) que dans la théorie des ensembles, tout élément d'un ensemble est lui même un ensemble.

Non, ça veut dire que si tu as un ensemble A, tu peux forcément définir un ensemble B qui contient tout les éléments de A, ça n'implique rien sur la nature des éléments de A

[inviteedb1f4ef]

Hum...
ok.
Question subsidiaire, peut-être plus philosophique que mathématique :

L'axiome :
'Etant donné un ensemble A, nous pouvons trouver un ensemble B dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de A'

ne précise ni dans cette forme là, ni dans son écriture formelle, qu'il ne s'applique qu'à des ensembles d'ensembles, ou qu'il ne s'applique qu'à des ensembles ayant au moins un élément qui est un ensemble. Au contraire, il est bien précisé dans son écriture formelle : 'quelque soit un ensemble A'.

J'en déduit alors que dans le cas où A contient des objets mathématiques qui ne sont pas des ensembles, soit :
- on applique une règle somme toute logique qui est que l'ensemble des éléments d'un objet mathématique qui n'est pas un ensemble est égale à l'ensemble vide.
- ou alors il est implicitement entendu que cette axiome ne s'applique pas dans ce cas là, puisqu'on parle alors de choses qui n'ont pas de sens.
(un peu comme quand on dit : 'quelque soit A, et quelque soit x élément de A...', on sous-entend implicitement que A n'est pas l'ensemble vide).

laquelle de ces deux options est la bonne ? (la 1ere, la 2eme, les deux, ou aucune ?)

[Médiat]

je me pose plusieurs questions sur la théorie des ensembles et son axiomatique ZF.

J'ai un ensemble

1/ et sont-ils des ensembles ?
1/ ie - en théorie des ensemble, les éléments d'un ensemble sont-ils des ensembles ?
1/ ie - en théorie des ensemble, tout objet mathématique est-il un ensemble ?

Oui au 3 (dans le cas de ZF), oui au 2 premier et non au 3 dans le cas de NBG.

cette question est liée à une seconde question. Celle de l'axiome de la réunion de ZF. énoncé non formellement :
'Etant donné un ensemble , nous pouvons trouver un ensemble dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de '

cette axiome suppose (selon moi en tout cas) que dans la théorie des ensembles, tout élément d'un ensemble est lui même un ensemble.

Donc Oui.

Si je prend alors . 0 et 1 nombres entiers.
à quel ensemble et font-il référence ?

0et 1 sont les dénominations ordinales pour les ensembles suivants :

- une première idée est de dire qu'en théorie des ensemble, l'élément est aussi l'ensemble . Cela ne me satisfait guère, pour plein de raisons (il devient par exemple aisé de construire des ensembles se contenant eux-mêmes, or leur existence est supposé indécidable (d'après ce que j'ai compris)).

Ce n'est donc pas cela, mais comme cette existence est indécidable on pourrait ajouter un axiome imposant cette existence.

- une deuxième idée est de dire qu'en théorie des ensemble, un élément qui n'en contient pas d'autre (par exemple les éléments 0, 1, etc...) ne contient pas d'élément et est par conséquent l'ensemble vide. Mais cela ne me satisfait pas plus, car pour reprendre mon exemple ci-dessus, on aurait alors
A = {}
ce qui selon moi n'a pas de sens, un ensemble ne pouvant contenir deux instances d'un même élément (justement, l'axiome de la réunion devrait un peu participer à établir le fait que et non ).

Donc ce n'est pas cela non plus dans ZF, car il ne peut y avoir deux ensembles vides, néanmoins cette idée de l'existence "d'atomes" a été développé sous le nom de ur-éléments, et la théorie des ensembles qui va avec est la "New Foundation" de Quine (NF), mais qui ne s'est pas révélé apporter grand chose à ZF.
Et votre dernière remarque fait allusion à une 4ième théorie des ensembles (et encore, je ne compte pas ZFC ) : les multisets (où un même élément peut appartenir plusieurs fois au même ensemble).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Le problème se situe tout au début. En effet, tout élément d'un ensemble n'est pas necessairement un ensemble

archimondain a clairement établi sa question dans le cadre de ZF, donc ce que vous avez écrit est faux

[Médiat]

(un peu comme quand on dit : 'quelque soit A, et quelque soit x élément de A...', on sous-entend implicitement que A n'est pas l'ensemble vide).

Je ne vois pas pourquoi cela sous-entend (je n'ajoute pas implicitement pour éviter le pléonasme ) que A n'est pas vide !

[inviteedb1f4ef]

Merci Media
Si je comprend bien, dans ZF
- Tout élément mathématique est un ensemble
- Ce que je voyais comme étant un problème n'en est pas un, car 0 et 1 sont eux aussi dans ZF des ensembles, et de manière générale, tous les entiers naturels s'obtiennent et se distinguent par construction d'ensembles en contenant d'autres, en prenant pour ensemble de départ à cette récurrence délirente, l'ensemble vide. (j'adore, les mathématiciens sont vraiment fous ).

Merci aussi pour les nombreuses pistes que vous avez données concernant les autres théories ensemblistes.

Je ne comprend pas vraiment votre réponse à ma deuxième question, mais comme à la lumière de vos éclaircissement, elle se révèle être de toute façon moins pertinente, j'y reviendrais quand ce qui a plus d'importance (la ou les théories des ensembles) sera bien assimilé dans mon esprit.