Quelques questions de théorie de la mesure

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai un petit soucis avec les points suivants, si quelqu'un pouvait m'aider ça serait bien gentil :

1) Si je considère un ouvert de et une fonction F nulle presque partout (pour la mesure de Lebesgue), alors il existe une suite de réels tendant vers zéro telle que

Comment pourrais-je donc montrer rigoureusement cette affirmation ? Elle est intuitivement évidente mais ça ne me suffit pas ...

2) Soit comme ci dessus, A un ensemble lebesgue mesurable de mesure finie, (1 désigne l'indicatrice).

Par la propriété de régularité de la mesure de Lebesgue, il existe, , un ouvert et un compact tels que et

Cela implique apparemment qu'il existe une fonction g continue à support compact sur telle que :

, g = 1 sur , g = 0 hors de

Comment le montrer ? Je pense que ça vient du fait que si f est une fonction L1 sur omega alors quel que soit positif il existe g continue à support compact telle que :



Mais je ne vois pas comment en déduire mon résultat malgré tout ...

merci
-----

[invite986312212]

1) pour tout entier k tu considères la boule ouvert de rayon 1/k. Elle contient forcément un point (x_k) qui annule f car sinon f serait non-nulle sur une boule de mesure non nulle.

[Bleyblue]

Ah oui tout simplement, merci

[invite986312212]

2) s'appelle "lemme d'Urysohn". On ne te donne aucune indication? parce que je ne me souviens pas bien, mais il me semble que la démonstration n'est pas triviale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Eh bien en fait ce résultat intervient dans une des démonstrations du cours et aucune justification particulière ne l'accompagne (je me réfère à mes notes), mais il est possible que cela découle du résultat que j'ai cité à la fin de mon message et qui lui a été démontré ...

merci

[invitea41c27c1]

Je pense que ça vient du fait que si f est une fonction L1 sur omega alors quel que soit positif il existe g continue à support compact telle que :

Non, c'est l'inverse !!

Pour demontrer cela tu prends .

[Bleyblue]

Hum, diable.
Eh bien j'irai demandé au professeur à la rentrée.

merci bien