Théorie des ensembles et structures algébriques : quelques questions.

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

Je suis en MPSI et j'ai quelques questions sur la théorie des ensembles et les structures algébriques.
Je commence :
Soient E et F deux ensembles. On dit qu'une relation de E vers F est binaire si et seulement si E=F. Les applications sont des relations binaires (dit dans mon cours et dans mes bouquins).
Cependant, si on considère par exemple l'exponentielle de dans , les ensembles de départ et d'arrivée ne sont pas les mêmes ... .
Je pense que je suis passé à côté de quelque chose sur ce coup là .

Je voulais aussi vous demander : est-ce normal que l'on n'insiste pas autant en cours que dans les Moniers par exemple sur la théorie des ensembles? Ou bien va-t-on reprendre ça en cours d'année de manière plus théorique?

Merci d'avance.
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[edpiste]

La définition d'une relation binaire n'impose pas que les ensembles de départ et d'arrivée sont égaux. Cf "définition formelle" dans

http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_binaire

[invitea250c65c]

En effet. Dit comme c'est dit sur wikipédia pas de problème. Ce qui est plus embêtant c'est que mon bouquin ne dit pas ça :
D'après wiki : "Une relation binaire R de E vers F est définie comme une partie de ExF [...] dans le cas particulier où E=F, on dit que R est une relation binaire sur E". Là OK pas de problème pour dire que les applications sont des relations binaires.
D'après mon bouquin : "Une relation R de E vers F est appellée relation binaire si et seulement si E=F. On dit alors que R est une relation binaire dans E." (une relation ayant été définie comme un triplet (E,G,F), G étant une partie de ExF).

Pouvez-vous m'éclairer SVP.

[edpiste]

Tout est question de choisir une définition. On peut toujours voir l'exponentielle comme une application de R dans R (dont l'image est R+*), et alors ça rentre dans le cadre de tes définitions...Plus généralement, si f:E\to F est une application, on peut toujours poser G=E\cup F et \tilde f:G\to G définie par
\tilde f(x)=f(x) si x\in E, \tilde f(x)=f0 sinon (où f0 est un point fixé de F). Alors \tilde f est bien une relation binaire au sens où tu l'as précisé... et on récupère le f de départ comme la restriction de \tilde f à E (à l'espace d'arrivée prêt, comme pour l'exponentielle).
Toute la nuance est dans la distinction entre fonction et relation fonctionnelle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea250c65c]

Tout est question de choisir une définition. On peut toujours voir l'exponentielle comme une application de R dans R (dont l'image est R+*), et alors ça rentre dans le cadre de tes définitions...Plus généralement, si est une application, on peut toujours poser et définie par
si sinon (où f0 est un point fixé de F). Alors est bien une relation binaire au sens où tu l'as précisé... et on récupère le f de départ comme la restriction de (à l'espace d'arrivée prêt, comme pour l'exponentielle).
Toute la nuance est dans la distinction entre fonction et relation fonctionnelle.

Merci, c'est plus clair. Cependant, un petit point me chagrine encore : dans ce cas la on peut dire que toutes les relations sont des relations binaires (en considérant l'union des ensembles ...), mais alors quelle est la différence entre une relation et une relation binaire ? J'ai l'impression qu'en pratique toutes les relations dont on se sert sont binaires, mais j'ai du mal à saisir la différence théorique entre les deux.

Merci d'avance.

[edpiste]

Le mot binaire est là pour insister sur le fait qu'il y a deux arguments (par opposition à relation ternaire où il y en a trois). Pour moi, il n'y a pas de différence formelle entre relation et relation binaire : c'est juste la donnée d'une partie d'un espace produit E\times F. En ce sens toute relation ternaire est une relaton (binaire !).

[invitea250c65c]

Merci beaucoup c'est plus clair.

Une autre petite question : j'ai du mal à comprendre un exemple dans un bouquin : "la relation induite sur l'ensemble des nombres premiers par la divisibilité dans est l'égalité".
Je sais c'est surement très bête mais on n'a pas insisté sur toutes ces histoires de relations en cours (je ne sais pas trop si c'est vraiment encore au programme) et je profite des vacances pour revenir dessus.

Merci d'avance.

[Médiat]

Merci beaucoup c'est plus clair.

Une autre petite question : j'ai du mal à comprendre un exemple dans un bouquin : "la relation induite sur l'ensemble des nombres premiers par la divisibilité dans est l'égalité".
Je sais c'est surement très bête mais on n'a pas insisté sur toutes ces histoires de relations en cours (je ne sais pas trop si c'est vraiment encore au programme) et je profite des vacances pour revenir dessus.

La relation de divisibilité est la relation R définie par (aRb) ssi (a divise b), or pour les nombres premiers (a divise b) ssi (a = b) (cqfd)

[invitea250c65c]

Merci beaucoup.

Encore trois petites questions :
-Quel est l'interêt de distinguer dans les relations les relations d'équivalence et les relations d'ordre? Jouissent-elles de propriétés spécifiques particulières ou bien est-ce juste pour simplifier les choses?
-Pourquoi les appelle-t-on ainsi?
Pour une relation d'ordre je le comprends à peu près (la réfléxivité, la transitivité et l'antisymétrie correspondent aux propriétés que l'on associe intuitivement au mot "ordre"), mais pour la relation d'équivalence, je ne vois pas trop pourquoi "équivalence".
-Pourquoi parle-t-on d'antisymétrie alors que mathématiquement antisymétrique ne signifie pas non(symétrique)?

Désolé si ces questions peuvent paraitre curieuses, mais c'est le genre de choses que l'on n'ose pas demander en cours (ça ne fait pas beaucoup avancer le cours lui même) mais qui, à mon avis, permettent de mieux comprendre les choses.

Merci d'avance et bonne fin d'année à tous.

[invitec053041c]

Une relation d'ordre et une relation d'équivalence n'ont pas la même visée, mais chacune sert à comparer 2 éléments d'un ensemble.
Intuitivement, la relation d'ordre va établir lequel de x ou y est "le plus grand" (d'où le mot "ordre"), la relation d'équivalence va nous renseigner sur la similarité ou non de x ou y (d'où le "équivalence").
Pour ce qui est de l'antisymétrie, c'est une question de vocabulaire..

[Médiat]

-Pourquoi parle-t-on d'antisymétrie alors que mathématiquement antisymétrique ne signifie pas non(symétrique)?

J'ajoute au post de Ledescat que l'antisymétrie ne signifie absolument pas non-symétrie.