montrer la convergence d´intégrales

[Bartolomeo]

Bonjour,
J´ai trouvé la question (a) mais j´aurais besoin d´aide pour la (b).
Voici l´enoncé:
Pour R>0 nous définisssons les courbes suivantes:

avec
avec
avec

(a) montrer l´égalité suivante . (résolu)

(b) montrer que les intégrales et konvergeent et donner leur valeur.
Indice: .

Cordialement.
Bart
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[invite2e5fadca]

En détail je ne sais pas directement, mais faire tendre R vers l'infini et de calculer les deux intégrales de chemins du membre de droite. Ensuite en identifiant partie réelle et partie imaginaire tu devrais tant sortir.

[invite0fa82544]

Bonjour,
J´ai trouvé la question (a) mais j´aurais besoin d´aide pour la (b).
Voici l´enoncé:
Pour R>0 nous définisssons les courbes suivantes:

avec
avec
avec

(a) montrer l´égalité suivante . (résolu)

(b) montrer que les intégrales et konvergeent et donner leur valeur.
Indice: .

Cordialement.
Bart

L'intégrale tend vers zéro quand , celle sur donne l'intégrale gaussienne réelle multipliée par un facteur de phase, d'où les deux intégrales de Fresnel en séparant les parties réelle et imaginaire.

[invite2e5fadca]

C'est peut-être bête mais je n'arrive pas à montrer que C_2 --> 0. Comment tu le justifie ?

EDIT : c'est bon, il suffisait de calculer le module de la fonction. Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bartolomeo]

je ne comprends toujours pas comment résoudre la (b)?

[invite0fa82544]

je ne comprends toujours pas comment résoudre la (b)?

Le long de , l'intégrale est :

D'où :

et le résultat cherché en séparant les parties réelle et imaginaire.