Équation différentielle embêtante

[benjgru]

Bonjour,

je ne parviens pas à résoudre l'équation différentielle suivante :

yy"= 1+y'²

ça ressemble à du cosh(x) (équation différentielle pour trouver une chaînette) mais le y m'embête...

d'avance merci pour vos suggestions.
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[invite7c37b5cb]

Bonjour;

yy''=y'²+1

dy/dx=y'=p; d²y/dx²=y''=(dp/dy)*(dy/dx)=p*(dp/dy);

y*p*(dp/dy)=p²+1; pdp/(p²+1)=dy/y

equation dif. séparable.

[invitec317278e]

Salut,

en dérivant :
y(y''')=y' y"
d'où
y'''/y''=y'/y
d'où
ln(y")=A+ln(y)
d'où y"=By


grosso modo, sans justifications.

[invitea3eb043e]

Cette idée de dériver est élégante mais elle introduit des solutions parasites : B n'est pas arbitraire, comme on le voit en portant dans l'équation de départ.
On trouve 2 solutions : sin(x) et cosh(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

sin n'est pas solution.

Il est clair qu'une telle résolution demande, en plus d'une analyse rigoureuse (qui fournit par exemple, déjà, que B>0, et qui nécessite aussi de montrer que l'on peut diviser par les fonctions, et aussi que l'on peut dériver, et aussi de faire gaffe au signe quand on intègre en logarithme...), une synthèse consciencieuse.

Si tu as une solution qui donne directement que ch(x+phi) et -ch(x+phi) seront les seule solutions, je suis preneur.

[invitebe08d051]

Bonsoir,

L'idée du cosh (merci ) m'a fait penser à la résolution suivante:

En remarquant que: , l'équation différentielle devient:











Ce qui n'est pas difficile à résoudre, n'empêche que ça mérite une bonne rédaction.

[invitec317278e]

Oui, ce fut ma première tentative.

Hélas, cette égalité est fausse, on a en fait :


Note d'ailleurs que ch n'est pas solution de ton équation différentielle finale

[invitebe08d051]

Hélas, cette égalité est fausse, on a en fait :


Note d'ailleurs que ch n'est pas solution de ton équation différentielle finale

Ops, dsl j'ai rien dit ( C'est pas mon jour )

[invitea3eb043e]

sin n'est pas solution.

Exact, au temps pour moi !

[invite63e767fa]

Bonjour,

je me demande pourquoi cette discussion continue alors que "krikor" a indiqué, dès le début, la méthode classique pour résoudre ce genre d'équations (méthode par paramétrage)
Elle conduit à :
y = (1/a)*cosh(a*x+b)
avec a et b constantes
On pouvait d'ailleurs arriver plus rapidement au résultat (avec un peu de flair) en pensant au cosh et en cherchant des solutions de la forme y(x) = c*cosh(f(x)) qui ramêne à une équation linéaire f ''(x)=0.

[invitec317278e]

Bonjour,

je me demande pourquoi cette discussion continue alors que "krikor" a indiqué, dès le début, la méthode classique pour résoudre ce genre d'équations

Parce que c'est amusant de chercher plusieurs solutions

[invite63e767fa]

Effectivement, c'est une excellente raison !