Bonjour à tous alors voilà je pense que le titre est assez clair je voudrais connaitre les méthodes pour savoir si une matrice est ou non un espace vectoriel.
Exemple j'ai un exo qui me demande si B={A appartient M2 | XA=AX, X:=(1 1) avec (1 1) en dessous des deux premiers.
voila si vous pouvez m'aider se serait sympa.
Bonsoir,Envoyé par damien.moreau1
pardonnez-moi de vous dire que votre question ressemble à du charabia.
Une matrice est un objet mathématique pour lequel on définit des opérations (addition, multiplication), etc.
Un espace vectoriel est un ensemble muni d'une certaine structure.
L'un ne peut pas ``être'' l'autre...
On peut certes définir des espaces vectoriels avec des matrices (et même des algèbres), mais cela ne veut pas dire qu'une matrice est un espace vectoriel.
Quand on te donne une expression du type l'ensemble des matrices A telles qu'elles respectent "une certaine équation", une bonne idée est souvent de voir si on ne peut pas dire que c'est tout simplement en relation avec une application linéaire (le noyau ou l'image).
Par exemple, dans ton cas, on a la définition équavalente qui est :
ensemble des A telles que XA-AX=0, c'est à dire plus simplement ker(f) avec f l'application f:M->XM-MX
On peut montrer que cette application est linéaire. En effet, on aura f(aM+N)=X(aM+N)-(aM+N)X=aXM+XN-aMX-NX=a(XM-MX)+XN-NX=a.f(M)+f(N), donc f est bien linéaire.
Ton espace est donc le noyau de cette application linéaire, qui est un sous espace vectoriel.
excusez moi il y aivait une erreur dans l'énoncer c'est de montrer que cette ensemble est un SOUS espace vectorielle. Vraiment désolé de cette bourde
Pour vérifier que qu'un ensemble B est un espace vectorielle, il faut montrer que si U et V sont dans B alors aU+bV est aussi dans V pour tout a et b réel. (ou alors que d'une part U+V est dans B, et d'autres part que aU et dans B pour tout a...)
quand à la phrase "savoir si une matrice est un espace vectoriel" ca ne veut rien dire du tout. à la limite ce qu'on te demande c'est de savoir si un ensemble de matrices est ou non un espace vectoriel... mais une matrice c'est un objet, pas un espace.
