Une propriété en théorie des groupes

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai un groupe K caractéristiquement simple (c'est à dire qu'il n'existe aucun sous-groupe normal non trivial qui soit conservé pas tout automorphisme de K) fini, alors j'aimerais démontrer que K est engendré par l'ensemble des f(T) où T est un sous-groupe normal minimal de K (c'est à dire un sous-groupe normal non trivial ne contenant aucun autre sous-groupe normal non trivial de K) fixé et où f parcourt le groupe Aut(K) des automorphismes de K.

Savez-vous comment faire cela ? J'ai essayé de me baser sur l'hypothèse que T n'est pas caractéristique mais je me retrouve assez vite bloqué ...

merci
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[invitebe0cd90e]

[edit : mal lu T est fixé une fois pour toute]

[invited749d0b6]

Bonjour,

Soit H le groupe engendré par les f(T) (avec T fixé, f variant), il est stable par tout automorphisme de K. De plus, il contient T qui est non trivial. Donc H est non réduit à l'élément neutre, et stable par tous les f, donc comme K est caractéristiquement simple, H est soit l'élément neutre soit K. Donc c'est K.