ex sur matrice nilpotente

[invite10346f30]

bonjour,
voilà, j'ai quelques problèmes au sujet d'une question classique qui est:
"montrer que E(t) est inversible et préciser son inverse"

en sachant que E(t)=I+tA+(t^2/2)A^2 pour tout réel t et que A € Mp(R) telle qu'elle soit nilpotente d'indice 3, cad A^3=Op

autre question:
"montrer que l'application R ds GLp(R)...
t ds E(t)

...est un morphisme de groupes injectif."

merci d'avance
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[invitebe08d051]

Un bon moyen pour montrer qu'une matrice est inversible est de trouver une matrice tel .

N'oublie pas qu'il s'agit de l'exponentielle d'une matrice. (au second ordre).

Que vaut E(a).E(b) ?

Je te laisse conclure.

[invite3240c37d]

Soit tel que

Donc est injective donc inversible . L'inversibilité de en découle.
Montre que . Si tu montres que donc le morphisme est injectif

[invite10346f30]

Merci à tous les 2, votre aide m'a été bien utile et j'ai bien compris le raisonnement merci en effet, je n'avais pas pensé à l'expo d'une matrice :s mais j'aurai encore besoin de votre aide pour deux dernières questions:

soit En(t)= sigma(k=0 à n) (t^k/k!)A^k
=an(t) bn(t)
cn(t) dn(t)

1)expliciter sous formes de sommes les coeffs an(t)...dn(t) de cette matrice

2)on note E(t) la matrice: a(t) b(t)
c(t) d(t)

où a(t)=lim an(t) etc...
n tend I

expliciter la matrice E(t)

merci encore!

[A voir en vidéo sur Futura]