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ex sur matrice nilpotente



  1. #1
    chloé*

    ex sur matrice nilpotente


    ------

    bonjour,
    voilà, j'ai quelques problèmes au sujet d'une question classique qui est:
    "montrer que E(t) est inversible et préciser son inverse"

    en sachant que E(t)=I+tA+(t^2/2)A^2 pour tout réel t et que A € Mp(R) telle qu'elle soit nilpotente d'indice 3, cad A^3=Op

    autre question:
    "montrer que l'application R ds GLp(R)...
    t ds E(t)

    ...est un morphisme de groupes injectif."

    merci d'avance

    -----

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  4. #2
    mimo13

    Re : ex sur matrice nilpotente

    Un bon moyen pour montrer qu'une matrice est inversible est de trouver une matrice tel .

    N'oublie pas qu'il s'agit de l'exponentielle d'une matrice. (au second ordre).

    Que vaut E(a).E(b) ?

    Je te laisse conclure.

  5. #3
    MMu

    Re : ex sur matrice nilpotente

    Soit tel que

    Donc est injective donc inversible . L'inversibilité de en découle.
    Montre que . Si tu montres que donc le morphisme est injectif

  6. #4
    chloé*

    Re : ex sur matrice nilpotente

    Merci à tous les 2, votre aide m'a été bien utile et j'ai bien compris le raisonnement merci en effet, je n'avais pas pensé à l'expo d'une matrice :s mais j'aurai encore besoin de votre aide pour deux dernières questions:

    soit En(t)= sigma(k=0 à n) (t^k/k!)A^k
    =an(t) bn(t)
    cn(t) dn(t)

    1)expliciter sous formes de sommes les coeffs an(t)...dn(t) de cette matrice

    2)on note E(t) la matrice: a(t) b(t)
    c(t) d(t)

    où a(t)=lim an(t) etc...
    n tend I

    expliciter la matrice E(t)

    merci encore!

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