Bonjour
Je bloque sur ces intégrales doubles, les voici.
(x,y) de R²
où
Alors pour la première : Déjà pour x sur R² je ne vois pas comment x² peut être inférieur à x, mais malgré ça j'ai donc calculé d'abord l'intégrale de y=x² à y=x par rapport à y puis par rapport à x de x=0 à x et je trouve
Pour la seconde j'imagine qu'il faut faire pareil mais je ne vois pas comment utiliser D... Merci à vous pour votre aide!
- Pour la première x²<=x c'est 0<=x<=1. Du coup tu cherches :
- Pour la deuxième, je crois que D=((x,y) | 0<=x<=1, 0<=y<=1-x) fait l'affaire.
- Pour la troisième, je suis pas sur donc il faudrait une confirmation, mais je trouve que ça ressemble aux quarts haut-droit et bas-gauche d'une ellipse. Du coup, je pense qu'il faudrait faire un changement de variable polaire et utiliser la définition polaire d'une conique ...
D'accord je comprend bien mieux comment comprendre le domaine D!
Pour la seconde une primitive de lnx est xlnx-x mais comment faire pour intégrer ceci ?
Ben comme tu intègre sur y tu considères x comme une constante. En faisant une changement de variable assez simple z=1+x+y tu te ramènes à ce que tu connais
Oui ça je l'ai fait mais quand je fais ce changement de variable u=1+x+y j'intègre donc entre u=1+x et u=2 lnudu qu'après j'intègre entre x=0 et x=1.
Le truc c'est que quand je continue à intégrer j'en arrive à devoir intégrer entre x=0 et x=1 ceci : (1+x)ln(1+x)...
Une petite intégration par partie va te redonner un truc tout simple
Arf c'est ce que j'ai fait c'était pas simple, j'ai dû faire une erreur de calcul, je refais
Ah oui j'ai fait une petite erreur
Pour la troisième je vois pas trop comment faire. Comment vois-tu que ça fait penser à ça ?
Peut-être a tu primitivé et dérivé les mauvaises fonctions ...
Oublies mon message d'avant, tu as été plus rapide.
Pour la troisième, il me semble que
Bon, je pense que ça ça doit convenir :
Pour D en lui même je pense qu'il faut découper ça en deux domaines et additionner les deux intégrales :
et
Oui effectivement! J'ai une simple question, lorsque j'intègre d'abord sur x puis sur y j'ai
Donc en fait j'ai fait le changement de variable x=asint (qui rappelle la paramétrisation d'une ellipse...) et du coup j'ai une valeur absolue en intégrant, je me retrouve à intégrer entre ces mêmes bornes
Ai-je le droit d'enlever la valeur absolue?
Lorsque j'intègre sur y puis sur x plutôt
Dans ton cas, je crois que oui. Car pour x=0, tu auras t=0 et pour x=a tu auras t=pi/2, or de 0 à pi/2, cos est positif donc tu peux enlever la racine.
Si tu avais eu des bornes moins gentilles, tu aurais du découper en deux par Chasles : par exemple pour t de 0 à pi, tu découpes de 0 à pi/2 ou |cos(t)|=cos(t) et de pi/2 ) pi où |cos(t)|=-cos(t)
D'accord
Merci beaucoup de ta patience, c'était très gentil ?
Puis-je te poser une dernière question ?
Par contre ton résultat me semble étrange car comme tu intègre, xy selon y, tu trouves x*y²/2, donc tu devrais trouver sous l'intégrale x*b²*(1-x²/a²)/2 ce qui te donne un polynôme à intégrer.
Par contre, je suis en train de penser à un truc : je ne sais pas si tu dois intégrer de -a à 0 ou de 0 à -a pour le deuxième domaine, est-ce que quelqu'un qui a l'habitude des intégrales doubles peut nous éclairer ?
Edit : Et oui tu peux me poser une autre question ^^
Si j'intègre de 0 à -a, à l'addition des deux intégrales le résultat est nul !
Oui j'ai fait une petite erreur c'est vrai!
Oui c'est pour ça qu'il est important de savoir dans quel sens sont les bornes ^^ même si je dirais qu'elles sont bien de -a à 0.
Sinon, je viens de remarquer qu'en fait lorsque je parlais de la troisième intégrale, il s'agissait de la 4ème, mais je crois que tu l'avais compris. C'est allé la 3ème ?
Oui pas de problème la troisième c'est bon
C'était quoi la dernière question ?
J'ai une astroïde dans la question d'après paramétrée par
Et à vrai dire je ne vois pas trop comment faire!
Hmm, voilà comment je ferais, mais il y a peut-être plus simple, parce que c'est quand même vraiment bourrin :
On remarque d'abord que l'aire de l'astroïde complet est 4 fois l'aire que l'on trouve pour cos(t) et sin(t) positif.
Or pour sin(t) positif on a sin(t)=sqrt(1-cos²(t)) donc si on considère l'astroïde comme la courbe d'une fonction f on a :
L'aire qui nous intéresse correspond à x variant de 0 à 1 donc, on cherche :
C'est possible à résoudre (même si long et difficile), je te laisse y réfléchir ... logiquement tu dois trouver une aire de 8pi/3
Waa... D'accordMerci à toi, et de ta patience
