Conjecture de poincaré et model de topologie

[invite6b1a864b]

Pour "approximer" une surface.


Prenons un ensemble de "point" E.
- L'ensemble est infinie, mais on définit que quelques parts, certains sont considérer comme "voisins" entre eux, et d'autres non.

- On définit la dimension comme le nombre moyen de voisin par point. ( si chaque point à que 2 voisins, alors c'est une ligne)

- On définit un chemin entre X à Y comme une série de point différent entre eux, chacun voisin du suivant, qui commence par X et finit par Y

On dit que deux chemins sont équivalent si, dans une suite de voisin A, B et C, on peut remplacé B par un autre point D lui même voisin de B, de A et C, de sorte à remplacer le chemin A - B - C par A - D - C
On passe donc d'un chemin à son voisin etc.. cela forme un ensemble.


[On peut voir déjà le rapport entre la dimension et le nombre de chemin équivalents]

On définit une classe de chemin entre deux points comme un ensemble de chemin équivalent entre eux. (des chemins entre chemins en quelques sortes)

- On définit la structure topologique comme suit : le "max" de classe de chemins différents entre deux points quelquonque. Par exemple, si il y a un trou, on peut définir deux classes de chemins différentes pour certain des points.


- On autorise la "déformation" par deux opérations qui doivent conserver la topologie et la dimensions, pour passer d'une structure à l'autre :

> la suppression ou l'ajout d'un point

Si A à pour voisin B, C, D, E... alors on doit pouvoir toujours aller de B à C etc etc par le même nombre de classe de chemin qu'avant. De fait, la suppression doit conserver toute les classes de chemins entre les points locale, et donc les classes de chemins globales


- On admette qu'un ensemble de déformation en transition crée un ensemble de structure voisine et équivalente : une classe de structure qui définit donc l'hypothétique surface.

- En admettant que la déformation permet de passer de n'importe quelle structure à n'importe quelle autre, par définition, en respectant les classes de chemin, on prouve la conjecture de poincaré indépendamment de la dimension.
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[Médiat]

Vous devriez jeter un oeil sur la notion de (localement) connexité par arc, et aussi la notion d'homotopie ...

[invite986312212]

- On définit la dimension comme le nombre moyen de voisin par point. ( si chaque point à que 2 voisins, alors c'est une ligne)

et pour la dimension 2 ? combien de voisins?

peut-être peux-tu regarder des notions comme celle de triangulation et d'homologie simpliciale.

[invite6b1a864b]

Merci, si un jour j'ai le courage de me plonger dans un dictionnaire de mathématique, je vous le direz !


Je vais précisez ma définition de la dimension, car ça n'est pas clair :

Le nombre de lien et le nombre de point ne suffisent pas en faite !

Admettons qu'on ai "n" point. On a au minimum (n-1) relation de voisinage et au maximum ((n*n)-n)/2 relation de voisinage.

pour 4 points par exemple, voici les structures qu'on peut avoir

A-B-C-D (3l)
A-B-C-D-A (4l)
A-B-C-D, D-B (4l)
A-B-C-D-A, D-B (5l)
A-B-C-D-A, D-B, A-C (6l)

L'idée c'est que la dimension est définit par les "sous ensembles saturés" :
- dès qu'on a 3 points liés par trois liens, on a un sous ensemble de dimension 2 (3/3 = 1 ( *2 = 2)
- dès qu'on a 4 points liés par 6 liens, on a un sous ensemble de dimension 3 (6/4 = 1,5 (*2 = 3 )
- dès qu'on a 5 points liés par 10 liens, on a un sous ensemble de dimension 4 (10/5 = 2 ( *2 = 4 )
- dès qu'on a 6 points liés par 15 liens, on a un sous ensemble de dimension 5 (15/6 = 2,5 (*2 = 5)

On définit la dimension d'un ensemble par le max de la dimension des sous ensembles (sauf si il sont saturés donc)



etc.

Un carré par exemple est de dimension 1 avec 1 trou.
Un triangle est de dimension 2
Un triangle est de dimension 2, avec une queue de dimension 1
Un losange barré est de dimension 2
Un tétraèdre est de dimension 3 etc..

Le pavage carré est de dimension 1 avec autant de trou que de carré. D'ailleurs il y a bien deux chemins d'une extrémité à l'autre (qui ne sont pas de la même classe).

Dès qu'on ajoute une diagonal on a la dimension 2 : les deux chemins deviennent de la même classe.

Le pavage triangulaire est la surface de base

Pourquoi les ensembles saturés ? En fait c'est assez simple : quand on a par exemple un triangle, on ne peut pas modifié l'air du triangle sans changé la longueur des cotés. Le fait qu'il y ai trois coté garantie l'existence de la surface.

Par contre, si vous avez un carré, vous pouvez le transformer en losange sans changer la longueur des cotés. ça correspond encore à l'idée que le pavage carré est "troué" puisqu'il est déformable (les quadrilatères ne conservent pas leur superficie).
En fait le trou au centre d'un triangle serait "un trou minimum"..

Autre exemple : un pavage infinie de carré sur 2 dimension entraine qu'on a 2 voisinage par point, tandis qu'un pavage en triangle entraine qu'on ai 3 voisinage par points.
Imaginons qu'on limite ces pavages, sans queue à une dimension: on a nécessairement pour périmétre un chemin à une dimension.

Pour le pavage triangulaire, on ne peut pas ajouté un voisinage (entre deux points éloigné par exemple) sans crée un trou, ou passé à une dimension supérieur, puisqu'il y a soit deux façons de joindre les deux points, qui ne sont pas de la même classe, soit un nouveau tétraèdre (4 point saturé (ou tout les liens possibles sont des voisinages)).

voilà ça semble marcher parfaitement.. pouvez vous prouver le contraire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Salut,

Prenons un ensemble de "point" E.
- L'ensemble est infinie, mais on définit que quelques parts, certains sont considérer comme "voisins" entre eux, et d'autres non.

Peux-tu donner la définition exacte de voisins?

- On définit la dimension comme le nombre moyen de voisin par point. ( si chaque point à que 2 voisins, alors c'est une ligne)

Quelle moyenne utilise-tu?
On a l'impression que la droite a 2 pour dimension (si tout les points ont 2 voisins, il est "naturel" que la moyenne soit 2). C'est bizarre et pas très intuitif du coup.

De plus, si je prend un cercle, combien de voisins possède chaque point? Quelle est la dimension du cercle?

on prouve la conjecture de poincaré

Tu t'enflammes un peu, non?

Cordialement

[invite6b1a864b]

Salut,
Peux-tu donner la définition exacte de voisins?

ça fait partie des informations qui définissent la structure : on a des points, ils sont connu comme voisin ou non, indépendament de l'espace. Le lien n'a pas à priori de longueur.
Je cherche à faire un pont entre la notion de graph (dans cette logique il n'y a pas d'espace ni de dimension), et la notion d'espace.

L'idée c'est de prendre une structure ou il n'y a que des points (sans autre information que l'identité, pas de position, pas d'espace) et des liens (entre deux points, il existe ou il n'existe pas)... et d'essayer d'en tirée des propriétés équivalente à la dimension et la topologie d'un espace.

Quelle moyenne utilise-tu?
On a l'impression que la droite a 2 pour dimension (si tout les points ont 2 voisins, il est "naturel" que la moyenne soit 2). C'est bizarre et pas très intuitif du coup.

En fait j'ai complété parce que ça ne marchait pas. On change de dimension localement dans le graph dès qu'on a un groupe "saturé" (avec tout les liens possibles).
Prend un lien : dimension 1 (il n'y a qu'un chemin possible)
Prend un triangle : il est de dimension 2 ( dans un pavage de triangle il n'y a qu'une "classe" de chemin (chaque chemin peut être transformé en les autres)

Si tu rajoute un point qui est lié à trois autre d'un triangle, tu a quatre point ou tout les liens possibles sont présents, un tétrahédre. On donc ici une structure en trois dimension localement selon la définition.

Si tu prend 8 points avec tout les liens possibles tu aurais un "espace" de dimension 7.

Evidemment, si on prend un structure au hasard, tu va avoir une topologie et des dimensions arbitrairement complexes

De plus, si je prend un cercle, combien de voisins possède chaque point? Quelle est la dimension du cercle?

La dimension du cercle est 1 avec un trou.
Puisqu'il n'y a pas de triangle : dimension 1.




Tu t'enflammes un peu, non?

Cordialement[/QUOTE]