exo de théorie des fonctions (fonction holomorphe sans racine)

[Bartolomeo]

Bonjour,

voici un exo dont je ne trouve pas de solution. De l´aide serait la bienvenue.

Soit un domaine et soient holomorphe et sans racines. Soit et une suite de , qui pour converge vers . Montrer que:
pour tout

Cordialement.
Bart
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[invite4ef352d8]

Salut !

Le théorème des zéros isolé nous dit alors que f'/f = g'/g partout


il ne reste plus qu'à calculer (f/g)' = (f'g-g'f)/g² = f'/g - (g'/g)*(f/g) = f'/g -f'/g=0

d'ou f=cg ...

[Bartolomeo]

Merci pour ton aide! Je ne comprends pas comment tu appliques ce théorème en cherchant un peu j´ai trouvé la définition suivante: Si z₀ est un zéro isolé d'une fonction holomorphe F, il existe un voisinage de z₀ dans lequel F n'a pas d'autre zéro que ce point.

[invite4ef352d8]

applique cela à la fonction h = f'/f -g'/g en z_0 :

on a h(z_n)=0, donc par continuité h(z_0)=0, donc si h n'etait pas la fonction nul il existerai un voisinage de z_0 tel que h est nul (en dehors de z_0) sur V, mais V contiens les z_n à partir d'un certain rang : contradiction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bartolomeo]

on fait je ne vois pas comment le fait de calculer (f/g)' = (f'g-g'f)/g² = f'/g - (g'/g)*(f/g) = f'/g -f'/g=0
nous amène à f=cg

[invite4ef352d8]

euh... qu'est ce qu'on en déduit quand la dérivé d'une fonction est nul ?