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exo de théorie des fonctions (fonction holomorphe sans racine)



  1. #1
    Bartolomeo

    exo de théorie des fonctions (fonction holomorphe sans racine)


    ------

    Bonjour,

    voici un exo dont je ne trouve pas de solution. De l´aide serait la bienvenue.

    Soit un domaine et soient holomorphe et sans racines. Soit et une suite de , qui pour converge vers . Montrer que:
    pour tout

    Cordialement.
    Bart

    -----

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  4. #2
    Ksilver

    Re : exo de théorie des fonctions (fonction holomorphe sans racine)

    Salut !

    Le théorème des zéros isolé nous dit alors que f'/f = g'/g partout


    il ne reste plus qu'à calculer (f/g)' = (f'g-g'f)/g² = f'/g - (g'/g)*(f/g) = f'/g -f'/g=0

    d'ou f=cg ...

  5. #3
    Bartolomeo

    Re : exo de théorie des fonctions (fonction holomorphe sans racine)

    Merci pour ton aide! Je ne comprends pas comment tu appliques ce théorème en cherchant un peu j´ai trouvé la définition suivante: Si z0 est un zéro isolé d'une fonction holomorphe F, il existe un voisinage de z0 dans lequel F n'a pas d'autre zéro que ce point.

  6. #4
    Ksilver

    Re : exo de théorie des fonctions (fonction holomorphe sans racine)

    applique cela à la fonction h = f'/f -g'/g en z_0 :

    on a h(z_n)=0, donc par continuité h(z_0)=0, donc si h n'etait pas la fonction nul il existerai un voisinage de z_0 tel que h est nul (en dehors de z_0) sur V, mais V contiens les z_n à partir d'un certain rang : contradiction.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Bartolomeo

    Re : exo de théorie des fonctions (fonction holomorphe sans racine)

    on fait je ne vois pas comment le fait de calculer (f/g)' = (f'g-g'f)/g² = f'/g - (g'/g)*(f/g) = f'/g -f'/g=0
    nous amène à f=cg

  9. #6
    Ksilver

    Re : exo de théorie des fonctions (fonction holomorphe sans racine)

    euh... qu'est ce qu'on en déduit quand la dérivé d'une fonction est nul ?

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