Stabilité par un automorphisme

[naznouz]

Bonsoir, lors de ma préparation pour le dernier Ds, voici une question qui me gène.

Pour un réel a fixée, on définit une application fa de Rn [X]dans Rn [X]
P → D((X − a)P ) D cad dérivé.
1. Montrer que f est un automorphisme. On note g sa bijection réciproque.

2. Montrer que pour tout k entre 0 et n, Rk [X ] est stable par ga .

Pour la 1ére question, vue que f est le produit de deux isomorphisme, alors il est un isomorphe, définit de Rn [X]dans Rn [X]; alors f est un automorphisme.

Pour la deuxième question, j'ai remarqué que Rk [X] est stable par f par f pour tout K, et meme le Degrée de P est égale au degrée de f(P) mais comment passer à l'image réciproque, je me suis bloqué
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[invite4ef352d8]

Salut !


pour la 1) ta réponse est fausse : D n'est pas un automorphisme !
il faut montrer que fa est injective (facile) en déduire que c'est un iso car on est en dimension fini.

pour la 2) il suffit de montrer que le degrée de P est le même que celui de fa(P)

[naznouz]

Bah je crois que la première question est juste, et pour la 2ème j'ai déjà montrer que le degrée de fa(P) est le même que celui de P, c'est déjà citer dans ma question, le problème c'est que je n'arrive pas à m'exprimer mathématiquement.

[thepasboss]

Bonjour,

La question est juste, ta réponse est fausse. L'argument que tu emploie en tout cas est faux. Pour la deuxième si tu as montré que le degré d'un polynôme était égale au degré de son image... bah tu as finit... fa(Rk[x]) inclu dans Rk[X] ce qui est la définition de la stabilité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[naznouz]

Bah dsl parcque j'ai perdu ma connexion, et je te demande de me prouver que ma première réponse est fausse, parcqu elle m apparait juste

[invite986312212]

pour 1) non seulement D n'est pas un automorphisme (les constantes ont la même dérivée) mais de plus P->(X-a)P n'est même pas une application de Rn[X] dans Rn[X] a fortiori pas un automorphisme. Et puis un produit d'automorphismes n'est pas un automorphisme, je suppose que tu voulais parler de la composée.