produit scalaire_fonction

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

mon sujet concerne le produit scalaire de fonction (produit hermitien?)

Je l'ai vu dans le cadre des séries de Fourier de cette façon:

=

Est le produit scalaire de la fonction f et g, c'est un produit scalaire car il verifie comme pour le produit scalaire les conditions de bilinéarité, distribution......

Dans le cas ou on prend f=cosinus et g=sinus on retrouve bien 0 donc ces fonction sont orthogonales.
Ensuite pour les series de fourier on projet notre fonction dans cette base

1°) Ma 1ere question est peut on projeter dans une base non orthogonale type x et x² , si oui il y a t il des inconvénient où des relations où autres choses à respecter?

ma question est un peut bizarre peut etre car à present j'ai toujours projeté des vecteurs où autre dans des bases orthonormée et donc dans le cas où c pas orthonormée je ne connais pas grand chose...

Je vous pose cette question car j'ai deja vu une relation du type


où il était dit que la fonction A est projeté dans une base [x, x²]
mais cette base n'est pas orthogonale à mon avis

2°) Ma 2eme question est:

Peut on dire à chaque fois que l'on a une relation de ce type:


que c'est un produit scalaire où on dit cela que lorsqu'on travail dans certaines conditions .....



Bref je suis peut etre un peu pommé car je n'ai jamais eu de curs sur les espaces fonctionnelles mais c'est pour cela que je vous sollicite afin de comprendre un peu plus.


Merci de votre aide
-----

[invitec1ddcf27]

Peut on dire à chaque fois que l'on a une relation de ce type:


que c'est un produit scalaire où on dit cela que lorsqu'on travail dans certaines conditions .....

C'est produit scalaire sur l'espace . Et on remarque que cette formule définit bien un réel, car pour des fonctions dans , on a



par Holder (Cauchy-Schwartz)

[invite9c7554e3]

C'est produit scalaire sur l'espace . Et on remarque que cette formule définit bien un réel, car pour des fonctions dans , on a



par Holder (Cauchy-Schwartz)

merci beaucoup de ta reponse XAV

[invite9c7554e3]

pour la 1ere question:



es ce qu'il est juste de dire que la fonction A est ici projeté dans la base
[x, x²] ?


et comment savoir que [x, x²] est une base?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c7554e3]

pour la 1ere question:



es ce qu'il est juste de dire que la fonction A est ici projeté dans la base
[x, x²] ?


et comment savoir que [x, x²] est une base?

Je me suis trompé:

Ici on peut dire que la fonction A est projeté sur x² ?


Et là A est projeté suivant x ?



Par contre pour que ça soit juste il faudrait que B(s) et C(s) forment une base ?

si c'est le cas la fonction A sera:




Ai je bien compris ce produit scalaire de fonction?