projection ouverte

[invitea6816ba4]

on quotiente un espace de banach par un fermé de ce dernier
pourquoi l application projection qui associe à un element sa classe d équivalance est une application ouverte?
-----

[KerLannais]

Salut,

Il suffit d'appliquer le théorème de l'application ouverte en remarquant que le quotient est un espace de Banach et que la projection est linéaire continue et surjective.

[invitea6816ba4]

Bonjour
Merci pour votre réponse
En effet ,cependant c'est dans la démonstration de ce même théorème qu'on utilise ce résultat.

J'explique le procédés utilisé
l'espace fermé en question est kerf
on factorise l application linéaire et on constate que l application est ouverte comme composé de deux application ouverte

J'ai un problème avec l'affirmation que les deux applications sont ouvertes
pour plus de détaille de la démonstration
http://www.math.jussieu.fr/~maurey/ts012/poly/mths.pdf
p46

[KerLannais]

Si tu as accès à une BU, tu peux trouver dans des livres d'analyse fonctionnelle des démonstrations du théorème de l'application ouverte qui n'utilise pas cette propriété, ni le théorème 4.1.3 qui a l'air d'être admis dans ton poly. Par exemple, dans le livre d'analyse fonctionnelle de Haïm Brezis aux pages 18,19 et 20.

Sinon, Il faudrait montrer qu'une projection est naturellement ouverte, ie que l'image d'une boule ouverte par une projection contient une boule ouverte de l'espace d'arrivé ou est carrément une boule ouverte. Par translation il suffit de le montrer pour les boules centrées en . Si tu regardes, la remarque après la démonstration de la proposition 1.3.2 tu as ta réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]