Bonjour à tous,
je lutte sur un exercice, je désespère.
En fait, il s'agit de prouver que pour toute matrice M :
det(M+C) = det(M) implique que C est la matrice nulle.
Voilà, et ça j'y arrive pas, j'ai un peu tout testé, jusqu'aux valeurs propres... etc. Je bloque... Quelqu'un a-t-il une idée? Merci.
(pour info la suite de l'exo est de prouver : det(M+A)=det(M+B) implique que A=B)
Salut,
Il faut chercher à montrer que le rang de C est nul... ( la supposer équivalente à Jr, puis voir ce que ça donne dans l'égalité, puis en choisissant bien M ... )
cdlt,
Julien.
si C n'est pas nulle, elle a une colonne au moins non nulle.
on complete cette colonne en une matrice inversible (c'est possible car?)
en utilisant cette matrice (avec un signe moins) on obtient une contradiction.
Je vois vraiment pas là comment prouver sans prendre un exemple concret...
Mais si on la choisit inversible, alors on ne l'aura pas forcément prouvé pour les C non inversibles... non?
Riff :
c'est pas sur C qu'on fait une hypothèse, mais sur M : tu suppose que "pour tout M det(C+M)=det(M)" donc pour exploiter cette hypothèse il faut choisir un M et appliquer l'égalité.
l'idée que propose SchliesseB consiste à construire une matrices M non inversible tel que C+M est inversible, ce qui est contradictoire puise M et C+M ont le même déterminant...
pour être sûr que M soit non inversible il la prend avec une colone nul. pour le reste je te laisse réfléchir un peu..
mon idée était exactement l'inverse en fait
avec un bon M (égal - une colonne non nulle de C et complété pour en faire une matrice inversible)
C+M n'est pas inversible (car une colonne nulle)
mais M l'est
or ils ont par hypothèse le même determinant.
Par exemple je peux choisir une matrice M constituée que de 1 et C = I.
Alors det(M)=0 mais M+C inversible.
Mais dans ce cas là, en quoi la généralisation est prouvée?
chez moi, C est tout a fait générale (juste non nulle) je ne la change pas (et je n'y ai pas droit)
par contre, puisque la propriété est vraie pour tout M, je peux choisir M comme je veux.
Ah oui d'accord je comprends. Ok merci beaucoup!
Et donc, pour la question suivante : det(M+A)=det(M+B). Ici le même fonctionnement ne marche pas vu que l'on peut avoir un déterminant non nul. Ce n'est plus une question d'inversibilité...
Pose X=M+A
C=B-A
qu'est ce que ça donne?
Certes. ^^
Bon et bien en tout cas un grand merci à tout ceux qui ont répondu. Ca me fait peur ce genre de petits exos aux oraux, avec des petites astuces comme ça... C'était aux ccp l'année dernière.
Mais merci encore une fois.
On a fait la correction avec le rang nous :
Si C de rang r, C=P.Jr.Q avec P et Q inversibles.
Dans l'égalité: det( M + P.Jr.Q ) = det(M), donc : det(P).det(P.M.Q
Avec M=P.Q : det(In+Jr)=1.
Si r
Alors r = 0, donc C nulle.
Pour la 2ème relation det(A+M)=det(B+M) en prenant M'=M-B : det(A-B + M') = det(M')
donc d'après la 1ère relation : A-B = 0.
Cdlt,
Julien.
Bonjour, l'algèbre linéaire est loin de moi ... il doit bien y avoir une raison pour que je sois le seul à trouver cette propriété évidement fausse ...Envoyé par Riff
Le déterminant de la somme égale le déterminant de la matrice de gauche (resp. droite) alors que la matrice de droite (resp. gauche) est non nulle. Non ?
Ce qui la rend vrai est que c'est pour tout M
Merci Yann ... la ponctuation m'a induit en erreur.
(et puis je suis fatigué ... 10h d'UML dans les pattes)
De rien!
On a fait la correction avec le rang nous :
Si C de rang r, C=P.Jr.Q avec P et Q inversibles.
Dans l'égalité: det( M + P.Jr.Q ) = det(M), donc : det(P).det(P
Avec M=P.Q : det(In+Jr)=1.
Si r
Alors r = 0, donc C nulle.
Pour la 2ème relation det(A+M)=det(B+M) en prenant M'=M-B : det(A-B + M') = det(M')
donc d'après la 1ère relation : A-B = 0.
Cdlt,
Julien.
D'accord je vois bien l'idée. Pourrais-tu simplement préciser ce que tu appelles Jr ?
C'est la définition du rang : C est de rang r ssi elle est équivalente à la matrice Jr=diag(1,...,1,0,...,0) où r est le nombre de 1.
D'accord merci beaucoup!
