courbes paramétrées

[invitebacb1152]

bonjour,
j'ai mon exam dans moins d'une semaine et je ne suis vraiment pas au point .

auriez vous un liens vers des cours pour les courbes paramétrées ?


pouvez vous m'aider en corrigeant cette exercice et en détaillant un maximum ? (je n'y connais quasiment rien en Courbes P )

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Exercice 7

On considère la courbe paramétrée H(t) = (x(t), y(t) ) , définie par :

x(t) = exp(t-1) - t et y(t) = t^3 - 3t


Déterminer les point stationnaires de cette courbe et effectuer une étude locale de ces points .

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merci d'avance
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[invitec1ddcf27]

Salut,

C'est pas bien de bosser 1 semaine avant un examen ! T'as de la chance, les courbes paramétrés c'est pas très subtil.
Alors, le(s) point(s) stationnaire(s) sont simplement données par



Ici, cela donne t=0. Donc l'unique points stationnaire est ( e^{-1}, 0 ). Ensuite, on peut déterminer si c'est un point d'inflexion, un point de rebroussement, etc...
Franchement, il suffit de connaitre les définitions et de faire des calculs. Tous cela est bien résumé dans le "Géométrie PCSI" de Jean -Marie Monier (éditions dunod)

[invitebacb1152]

merci de ta réponse, et l'étude locale des points ?

[invitefa064e43]

Salut,

C'est pas bien de bosser 1 semaine avant un examen ! T'as de la chance, les courbes paramétrés c'est pas très subtil.
Alors, le(s) point(s) stationnaire(s) sont simplement données par



Ici, cela donne t=0. Donc l'unique points stationnaire est ( e^{-1}, 0 ).

ce ne serait pas t=1 plutot ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

ce ne serait pas t=1 plutot ?

ben oui ! passé une certaine heure, le calcul, c'est un peu risqué.....

[invite5ac0a2ed]

Bonjour bonjour !
Voila, j'ai un problème : je ne comprend absolument rien aux courbes paramétrés. Il se trouve que j'ai un exercice dessus.

Etudier et tracer la courbe définie par

x=t+ 1/t
y=t-(1/t+1)

Je ne vous demande en aucun cas de me donner les reponses, mais juste d'essayer de m'expliquer ce qu'il faut que je cherche et ce par quoi il faut que je commence. ( et bor*** de me*** c'est quoi ces t ???????)

Merki

[invitefa064e43]

ce "t" c'est le "paramètre" !

ç'est un nombre réel quelconque (entre -infini et + infini) (sauf si précisé autrement, ou dans notre cas sauf s'il y a des valeurs "impossibles" comme t=0)

Pour voir à quoi ressemble la courbe tu peux simplement prendre plein de valeurs de t différentes, calculer les x et les y qui y correspondent, et enfin ça te donnera divers points.

Vu que dans la formule il y a du "1/t", je te conseille déjà de prendre des valeurs entre 0 et 1 pour voir ce que ça donne.
Ex : 0.1, 0.2, 0.3 etc...


normalement, dans une fonction à une variable habituelle, si tu veux tracer le graphique, tu as une formule du genre y=formule avec du x dedans
tu peux prendre plein de valeurs de x et calculer les divers points (x;y)

Ici, pour deux variables au résultat, on utilise une autre manière de faire : on utilise un paramètre t, et x et y sont les deux des résultats (alors que dans les fonctions à une variable x joue déjà le rôle du paramètre, seul y est à calculer).

je ne sais pas si j'ai été clair...

[invite5ac0a2ed]

Si, ca commence à s'éclairer dans ma tête...mais enfait je ne vois pas en quoi consiste l'étude qu'on me demande de faire...outre observer les valeurs interdites et tout ces trucs...cela me rappelle une "bete étude de fonction"...je me trompe?

[invitefa064e43]

tu fais une étude de fonction, absolument !

sauf que là tu étudies une fonction R->R^2 au lieu d'une simple fonction R->R.

Donc ici le graphique qu'on va dessiner ne peut pas représenter les couples Départ-Arrivée ( car à l'arrivée il y a déjà 2 coordonnées ), mais seulement les arrivées.

Ceci donne une autre manière de représenter une fonction.

On perd ce qu'on avait avant dans le graphique des fonctions de R->R : l"'évolution", la "vitesse" (le taux d'accroissement) de la fonction qui était visible d'un seul coup avec le graphique.

Là, pour comprendre "l'évolution" de la fonction il faut que tu imagines un peu comme ceci :

il y a un point pour un certain t (disons t=1, c-à-d dans notre cas le point (2;-1) )
lorsque t change (par exemple, s'il augmente), le point va se déplacer. De manière continue en général (car les fonctions x(t) et y(t) sont toutes les deux continues, sauf en t=0).

Si on imagine que le point "laisse une trace en bougeant", ça va te donner le dessin de la courbe. Si tu marques sur ton dessin les différents points et le t qui va avec, et que tu considères ce "t" comme le temps (disons en secondes), et que tu imagines le point bouger selon le nombre de secondes écoulées, tu comprendras mieux "l'évolution" de la courbe (il y aura des moments où le point va bouger très vite, comme entre 1 et 0 et d'autres moins).

[invite5ac0a2ed]

Ah parfait, je croit que cela me semble plus clair...mais l'interet d'une etude de fonction était généralement de tracer tableau de variation, puis calculer les limites, asymptotes et compagnies, mais ici ce n'est pas possible ( ou du moins je ne vois pas comment faire), donc ce que je ne comprend toujours pas c'est ce qu'ils attendent de cette étude...

[invitefa064e43]

Ah parfait, je croit que cela me semble plus clair...mais l'interet d'une etude de fonction était généralement de tracer tableau de variation, puis calculer les limites, asymptotes et compagnies, mais ici ce n'est pas possible ( ou du moins je ne vois pas comment faire), donc ce que je ne comprend toujours pas c'est ce qu'ils attendent de cette étude...

le tableau de variation, ça a du sens lorsqu'au départ il y a un nombre x, et qu'à l'arrivée il y a un seul nombre y aussi. On peut regarder, selon les valeurs de x, quel est le signe de y, et aussi de quelle signe est la fonction dérivée dy/dx, ceci nous permet de dire "si dy/dy est positif sur un intervalle de certains x, alors lorsque x augmente dans cette intervalle on a que y augmente aussi : la fonction est croissante".

Mais pris tel quel ça n'a pas de sens si tu as une variable de départ (t) et deux variables à l'arrivée (un point (x;y) ). Comment dire qu'un point "augmente" lorsqu'on fait augmenter le t ?

Le but, "pédagogique", selon moi, est :
1) de te montrer qu'il y a d'autres choses que les fonctions de R dans R.
2) qu'on doit forcément changer notre manière d'analyser ça. Le tableau de variation n'a pas de sens.

Par contre ce qui a un sens, c'est tout de même l'étude "aux limites".
Evidemment, il n'y a pas d'"asymptotes" au sens que tu connais déjà.

Mais il se passe tout de même certaines choses intéressantes qui ressemblent à ce que tu as déjà fait.

Je ne sais pas comment tu as appris les limites. En général, on commence par quelque chose "d'instinctif" : pour comprendre ce qui signifie par exemple lim x->3 de f(x), on te fait faire un tableau de valeurs avec des valeurs de plus en plus proche de a, et on "regarde" le résultat. Avec x=2, x=2.5, x=2.9, x=2.95, x=2.99, etc... que se passe t-il avec le résultat ? est-ce qu'il "explose" ou pas ?(valeurs de plus en plus grandes, sans jamais s'arrêter, où est ce que la valeur se stabilise)

Tu peux tout de même faire le même raisonnement avec deux variables à l'arrivée.

Fais un bête tableau de valeur avec plein de valeur de t.

Et, une fois cela fait (et après avoir dessiné les résultats), intéresse toi à calculer la fonction pour des valeurs proches de valeurs problématiques (ici près de t=0). Ceci correspond bien à la même notion de limite que tu avais avant.

Et tu peux aussi étudier la fonction quand les valeurs de t deviennent grandes (quand t tend vers l'infini).


Toutes ces limites ne sont en fait pas très difficiles à étudier.

la limite lim t->a de (x(t);y(t)) c'est comme (lim t->a de x(t) ; lim t->a de y(t) )
(x(t) et y(t) sont les fonctions de t qui te donnent respectivement le x et le y)

On veut t'apprendre à avoir une "culture" au niveau des fonctions à plusieurs variables.

De plus les courbes paramétriques sont effectivement très utilisées en physique (où le paramètre est vu comme le temps et le résultat est la position d'une particule dans un plan par exemple).


Les fonctions en maths, ça ne s'arrête pas aux fonctions de R dans R .

[invite5ac0a2ed]

Tout s'éclaire...
Dis moi si c'est bien cela:

j'étudie x' et y' et je trace ainsi un tableau de variation pour x et y, or comme x'y' est un vecteur directeur de la tangente, je connait "l'évolution" de ma droite (qui croît, qui décroît). Il me reste alors a étudier les diverses points particuliers comme aux diverses limites, points stationnaires and Co. de manière a avoir un représentation fidèle et justifié de la courbe.