Limite à l'intérieur d'une intégrale ?

[invite9617f995]

Bonjour à tous,

Je me pose une petite question sur les limites : est-ce qu'on peut passer une limite à l'intérieur d'une intégrale si la variable que l'on fait tendre n'est pas une borne ou la variable d'intégration. En gros, pour traduire ça : soient a et b deux réels, f une fonction de R dans R et g une fonction de R²\{(0,t)} dans R qui admet une limite en (0,t) que je noterais par souci de simplicité f(0,t) et qui dépend de t. Ma question :

et

sont elles égales ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Silk
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[invite9617f995]

J'ai oublié d'ailleurs de mettre mon application de ça. Je viens de me renseigner un peu sur la transformée de Laplace, et en cherchant un peu, j'ai vu que si on note F(p) la transformée de f(t), on a :



Or on a en utilisant la dérivée d'une exponentielle, on trouve :

Donc, si ce dont je parlais avant est vrai (à savoir passer la limite dans l'intégrale), on aurait :



Soit la transformée de Laplace de la fonction tf(t).

Je viens de vérifier sur Internet, et visiblement la transformée de Laplace a bien cette propriété, je demande donc si le raisonnement ci-dessus en est une démonstration.

Merci d'avance

[invitea6f35777]

Salut,

Il y a plusieurs théorèmes de passage à la limite sous l'intégrale, le plus utilisé étant le théorème de convergence dominée de Lebesgue. On ne peut pas toujours passer à la limite sous une intégrale mais on peut le faire si certaines conditions sont remplies.
Premièrement si l'intégrale est définie pour tout (ça paraît évident), deuxièmement si on peut calculer la limite de ce qu'il y a sous l'intégrale (là aussi ça paraît évident), et troisièmement, l'hypothèse de domination:
Il faut trouver une fonction qui dépend de mais INDEPENDANTE de telle que
pour tout
et bien sur il faut que soit intégrable. On dit que domine ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale. Ici c'est pas difficile
puisque

on a

et est bien intégrable donc on peut passer à la limite sous l'intégrale.

[invite9617f995]

Salut,

Tout d'abord, merci de ta réponse. Juste une petite question : quand tu dis intégrable, c'est quelles conditions plus explicitement (je suis désolé, j'ai pas encore vu tout ce qui est intégrale au sens de Riemann, ou Lebesque, ...) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6f35777]

Au sens de Lesbesgue (i.e. au sens le plus général, sauf si on s'amuse à faire des intégrales de Riemann semi-convergente mais bon ... on va pas rentrer dans de telles considérations) une fonction est intégrable si elle est
1)mesurable, mais cherche pas trop à comprendre ce que c'est, c'est un peu compliqué et puis de toute façon tu peux retenir que toutes les fonctions que tu rencontrera seront mesurables, dès qu'une fonction est continue ou même continue par morceaux, elle est mesurable et en fait c'est très difficile de construire une fonction qui n'est pas mesurable, on est obligé pour cela d'utiliser un axiome non élémentaire de la théorie des ensembles (l'axiome du choix).
En clair tu peux laisser cette hypothèse de côté, en pratique elle est TOUJOURS vérifiée (ou si tu veux tu vérifie que ta fonction est continue par morceaux ou même continue).

2) à partir du moment ou est mesurable (c'est-à-dire "tout le temps"), sera mesurable et positive et on sait définir son intégrale de Lebesgue et la deuxième condition est donc


dans les cas que tu va considérer si tu es sur un segment ( et finis) et continue et continue par morceaux alors c'est bon , l'hypothèse 2) est vérifiée

dans le cas où tu travailles sur un intervalle non borné, par exemple sur c'est un peu plus compliqué. L'intégrale c'est l'air sous la courbe intuitivement, sur cette intervalle la courbe s'étends indéfiniment sur la droite, tu regarde donc l'aire du partie non bornée du plan. Elle n'est pas systématiquement infinie, il suffit que la fonction (positive puisqu'on regarde ) "décroisse suffisamment" ou "tende suffisamment vers 0". La fin du domaine se termine alors par un "queue" certe infini mais suffisamment peu épaisse pour que son intégrale soit finie. Exemple

En fait on a pour tout

donc intuitivement (et en fait rigoureusement) on a

C'est parce que tends suffisamment vite vers lorsque tends vers

autre exemple



Cette fois-ci tout



et

donc si tu veux un critère suffisant pour avoir (2) (sur mais il est facile de généraliser à d'autres intervalles) est que

note que puisque est positive la fonction qui à associe

est nécessairement croissante puisque si alors

et donc seuls deux cas peuvent se produire soit

soit

(dans les deux cas la limite est la valeur de l'intégrale sur )

Cela dit, je ne sais pas si ce critère te seras utile en quoi que ce soit puisqu'on ne peut pas toujours calculer (au sens avoir une formule explicite) pour l'intégrale sur (contrairement aux deux exemples que j'ai donnés où on a une formule explicite).

Un autre critère suffisant et beaucoup plus utile est de dire que puisque pour ça marche sur alors si
sur
alors c'est bon (l'intégrale de sur ne pause aucun problème)

Autrement dit ce que tu peut retenir c'est que pour que soit intégrable il suffit que tu vérifie que est continue ou continue par morceaux et que

reste bornée même quand tends vers l'infini. Le mieux étant carrément quand on peut de calculer la limite

si cette limite est finie alors c'est bon. Fais attention au fait que ces critères que je t'ai donnés sont seulement SUFFISANTS. Cela veut dire que si tu réussi à vérifier les critères alors ta fonction est intégrable, mais il y a des fonctions qui ne vérifient pas ces critères et qui sont quand même intégrables.

Par exemple

On a continue et

(puisque l'exponentielle l'emporte sur la puissance) et donc c'est bon est intégrable sur

Dans le cas de notre exemple, même si tu suppose que est seulement intégrable tu as

qui est intégrable puisque mesurable (car c'est "toujours" le cas ) et

puisque est intégrable et qu'il existe une constante telle que

On doit même pouvoir dans ce cas calculer la valeur de
qui est le maximum de la fonction

On calcule la dérivée

donc on a un maximum en

qui vaut

[invite9617f995]

Wahouh ! Merci beaucoup

Je crois bien que j'ai tout compris

Je repense d'ailleurs à la transformée de Laplace : si on définissait une transformée similaire mais sur un segment fini [a;b], soit :

On pourrait appliquer le même raisonnement, et ici, il n'y aurait même pas à faire de raisonnement sur l'intégrande (à part qu'elle est continue), vu qu'on intègre sur un segment fini et que donc l'intégrale sera finie (si j'ai bien compris ton message). On retrouverait donc la même propriété soit :
soit la transformée de tf(t).

Est-ce que je me trompe (je me dis que certaines intégrales faisant intervenir des exponentielles dans leur intégrandes peuvent peut-être être calculées en les "transformant" en intégration ou en équation différentielle de ces transformées F(p), mais que dans ces cas là, il ne faut pas se limiter à [0,infini[) ?

[invitec1ddcf27]

Salut !

Il y a plusieurs théorèmes de passage à la limite sous l'intégrale, le plus utilisé étant le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

1) Je suis d'accord. Bien que j'ai l'impression qu'à partir d'un certain niveau, il est plus souvent cité qu'utilisé... Bague à part, pour un étudiant de premier cycle, citons quand même le thm avec la convergence uniforme qui a l'intérêt d'être trivial à démontrer.

Si [a,b] est un segment et est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f sur [a,b], c'est-à-dire telle que



Alors




2) Sur ton calcul avec la transformé de Laplace, il faudrait quand même préciser dans quel espace est la fonction f. Et il me semble qu'il y a un signe négatif dans la dérivée F'



3) Et à KerLannais : je n'y connais rien en transformation de Laplace, ca ne sert qu'au électronicien pour bidouller des équa diff ou c'est un outil utile en maths ? Et il y a des résulats similaires à ceux obtenus pour la transformé de Fourier, genre une formule d'inversion, un analogue de l'espace de Schwartz, etc ???

[invite9617f995]

Salut,
Et merci de ta réponse

1) J'avais déjà lu ce théorème sur les suites de fonction quelque part, il me semble, mais merci de me le rappeler.

2) Il y a en effet un - devant l'intégrale, due à la limite et que j'ai oublié.

3) Pour ce qui est de la transformée de Laplace, je viens à peine de découvrir mais il me semble que c'est bien moins utilisé que la transformée de Fourrier . Il existe cependant une formule d'inversion et dans l'article Wikipédia, il parle d'un univers de Laplace donc peut-être est-ce l'équivalent de l'univers de Schwartz.

[invite00970985]

Si je ne m'abuse, la transformée de Fourier n'est qu'un cas particulier de la transformation de Laplace : p est une variable complexe qu'on peut donc écrire a+ib. En prenant a=0, on tombe sur la transfo de fourier.

[invite9617f995]

Presque, mais la transformée de Fourier c'est une intégration sur R entier tandis que Laplace c'est une intégration sur R⁺.

[invitea6f35777]

La transformée de Laplace peut aussi servir à résoudre des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles en math mais il est vrai qu'elle est moins utilisée que la transformation de Fourier. Cela dit on peut remarquer que dans la définition on peux prendre un nombre complexe, en particulier on peut prendre et on retombe sur la transformée de Fourier au bornes d'intégration près. La page de wiki sur la transformée de Laplace est bien documentée:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_de_Laplace
Elle est en général définie pour mais on peut étendre un peu cette définition en fonction des propriétés de décroissance exponentielle de à l'infini, à savoir si vérifie qu'il existe un certain tel que


Si on intègre pas sur mais sur un intervalle avec ou finis alors il faut que s'annule aux bornes de l'intervalle qui sont finies sinon le crochet dans la formule d'intégration par partie ne s'annule pas et on a pas une expression jolie de la tranformée de ce qui fait que lorsque l'on veut passer notre équation à la transformée ça ne marche pas et on tombe sur quelque chose d'affreux (ils précisent dans la page qu'il faut que les conditions initiales du signal doivent être nulles lorsque l'on intègre sur ).

La transformée de Laplace peut être adaptée donc à l'étude de signaux dépendant du temps qui s'annulent en , dans ce cas on peut éviter de se trimballer des partout. Mais c'est le seul intérêt que je connaisse la transformée de Fourier permet de travailler avec des fonctions dont la variable peut être négative et qui ne vérifie pas de conditions d'annulation particulière. Je pense que c'est pour ça que les matheux préfèrent Fourier et que les spécialistes de la théorie du signal peuvent éventuellement préférer Laplace.