maximum du module et disque ouvert

[Bartolomeo]

Bonjour,

J´avance un peu en théorie des fonctions! Et ceci pas sans votre aide. Voici un nouveau type d´exo pour lequel j´aurai besoin d´aide:

Soient un disque ouvert et les fonctions défini en a), b), c) et d). Il faut trouver et justifier pour chaque fonctions le maximum du module de
a)
b)
c)
d)

Cordialement.
Bart
-----

[Bartolomeo]

personne? ;(

[invite4ef352d8]

Salut !

euh... ta oublié de préciser quel disque était E ??? on va avoir du mal à calculer un maximum si on sait pas sur qu'elle domaine on ce place ^^

[Bartolomeo]

Désolé pour l´oublie! Je pensais que le symbole sous-entendait le disque unitaire ouvert avec comme centre le point (0, 0).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bartolomeo]

serait il possible de me montrer pour a) pour déduire la méthode à appliquer dans les suivants?

[invitea07f6506]

Le problème, avec ce que tu demandes, c'est que chacun des cas demande une méthode différente. Par exemple, le d) est essentiellement trivial (montrer que la fonction est toujours inférieure à une certaine valeur, qui est atteinte en un unique point du disque). Pour le c), on peut décomposer z en sa partie réelle et sa partie imaginaire : z = x + i y, exprimer le module de la fonction, et conclure. Pour les deux premiers, j'utiliserais le fait que le maximum est atteint sur le bord du disque, pour réduire le problème à l'étude des variations d'une fonction à une variable réelle, mais il y a probablement plus élégant.

[invite4ef352d8]

Salut !

les trois première sont des fonctions holomorphe, qui vérifient dont le principe du maximum : tu sais donc que le maximum est atteint sur le bord du disque... tous ce qu'il te reste, c'est détudier la fonction |f(exp(ix)| qui est une fonction réel tous ce qu'il y a de plus banal et trouver son maximum.


la 4e, est là pour te rappeller que le principe du maximum c'est seulement pour les foncitons holomorphe : celle ci est nul sur le bord du disque, mais son maximum (en module) est clairement 1, atteint en 0.