Boujours à tous, je requière votre aide car je ne trouve pas la solution de cette équation différentielle :
avec y(0)=0
Je précise que je tien à la résoudre par la transformation de Laplace.
Donc je passe dans le domaine de laplace :
et donc :
qui une fois décomposé en éléments simples donne:
Et ca me donne en repassant dans le domaine temporel :
Mais cette solution ne marche pas, j'ai essayé !
Ou me suis-je trompé ?
merci d'avance.
Bonsoir,Envoyé par mc222
Mais cette solution ne marche pas, j'ai essayé !
Ou me suis-je trompé ?
merci d'avance.
Dans ta vérification ?
bien vu ^^
merci du tuyeau, la verification n'était pas si trivial que je le pensait
en tout cas j'aurais jamais trouvé ! merci encore.
bon j'aurait une autre question:
Quand on a une équadiff du second ordre,
au moment de la transposer dans le domaine de Laplace, il est dit qu'il est nécessaire de connaitre les conditions initiale: f'(0) et f(0)
Mais on se repète nan quand on l'écrit nan?
Si on a : 2y"+1y"=0
ca donne : 2p² L{y}-pf(0)-f'(0)+pL{y}-f(0)=0
C'est normale qu'une condition initiale intervienne deux fois?
Salut,
Oui puisqu'on applique la transformée de Laplace à l'équation (et qu'elle est linéaire), on l'applique deux fois. Tu as essayé de faire le calcul ? Je l'ai fait rapidement, et je trouve une solution qui respecte bien l'équation différentielle en gardant les conditions initiales. Par contre, il manque des 2 dans ton équation :
On repasse en temporel, et on appelle u(t) l'échelon unité de Heaviside :
Je n'exclue pas une erreur dans mes calculs mais normalement le raisonnement est bon (appliquer la transformée de Laplace à tous les termes de l'équation, puis écrire F(p), ensuite décomposer en éléments simples, et enfin repasser dans le domaine temporel).
Salut Dark Malak,
Merci bien de développer ton calcul, ca ne m'était pas venu à l'idée d'affecté le facteur précédant y" au f'(0) et au f(0).
En tout cas c'est très claire, limpide maintenant.
Mais je ne vois pas a quoi correspond l'echelon unité de heaviside !
Quel est le sens de cette fonction ? son role ?
Si tu regardes la page de Wikipédia par exemple, on te définit la transformée de Laplace comme ceci :
En mathématiques et en particulier en analyse fonctionnelle, la transformée de Laplace monolatérale d'une fonction f d'une variable réelle positive t est la fonction F de la variable complexe p, définie par:
Donc déjà tu vois qu'il faut que la variable t soit positive. Maintenant, on définit une nouvelle fonction, appelée échelon unité de Heaviside (tu peux encore regarder l'article de Wikipédia) :
On voit que cette fonction peut être utile pour s'assurer que les fonctions qu'on trouve respectent bien la définition de la transformée de Laplace.
On peut calculer la transformée de Laplace de la fonction de Heaviside :
Donc quand on a 1/p dans le calcul de mon message précédent et qu'on veut revenir en domaine temporel (en appliquant la transformée inverse), ça fait forcément apparaître la fonction de Heaviside. Pour les autres fonctions de la forme 1/(p+a) par exemple, je n'ai pas refait le calcul mais elle apparaît aussi ; tu peux le voir en regardant le tableau en bas de la page de wikipédia donnée en premier lien.
Je suis un peu moins clair peut-être sur ce message, donc n'hésite pas si tu as d'autres questions !
ok, donc d'apres ce que j'ai compris, la fonction u(t) est la pour s'assurer que t soit positif, mais je ne vois pas comment on refait apparait u(t) quand on inverse la transformée pour revenir dans le domaine temporel.
Prennons le cas d'une fonction exponnentielle inverse:
hors si je cherche dans les tables une transformée inverse deje trouve :
Alors que pourtant, je ne suis pas partit d'un u(t) !
Expliquez moi.
Dernière modification par mc222 ; 25/06/2010 à 17h21.
Je pense que l'échelon doit apparaître quand on fait la transformée de Laplace inverse, mais, comme je ne connais pas (encore) l'analyse complexe, je ne me risquerai pas à faire ce calcul. En revanche, tu peux voir que quand tu calcules l'intégrale, tu ne le fais que pour les t positifs, et c'est bien le sens de la fonction de Heaviside (d'une certaine manière, elle apparaît de manière implicite puisqu'elle vaut 1 sur le domaine d'intégration). C'est d'ailleurs rappelé sur Wikipédia juste avant le tableau :
"La transformée de Laplace n'est valide que pour des t supérieurs à
Désolé de ne pas pouvoir te faire le calcul, mais il doit très certainement aboutir au résultat qu'on trouve dans le tableau (ton calcul n'utilise pas la transformation inverse, il ne constitue qu'une vérification en fait).
ok d'accord, ca me va, merci
Avec plaisir. Si je trouve un cours d'analyse complexe, j'essaierai de te faire le calcul de la transformation inverse correctement.
Ok, merci de ton investissement, ca fait plaisirs.
En tout cas, je m'ammuse à résoudre des équadiff linéaires du second ordre, et c'est triviale avec cette transformation, quel outil génial.
C'est tellement plus compliqué et hazardeux par les techniques "classiques".
Bonsoir,ok, donc d'apres ce que j'ai compris, la fonction u(t) est la pour s'assurer que t soit positif, mais je ne vois pas comment on refait apparait u(t) quand on inverse la transformée pour revenir dans le domaine temporel.
Prennons le cas d'une fonction exponnentielle inverse:
hors si je cherche dans les tables une transformée inverse de
Alors que pourtant, je ne suis pas partit d'un u(t) !
Expliquez moi.
Tu as simplement calculer la TL d'une fonction qui n'a pas de TL car elle n'est pas nulle pour les t négatifs.
DarkMalak a tout dit.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
En effet.
Dans la formule d'inversion, la ligne de Bromwich est telle que toutes les singularités de la fonction à inverser se situent à gauche.
Dès lors, le théorème des résidus donne immédiatement une intégrale nulle pour
