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Nombres complexes



  1. #1
    cedbart

    Nombres complexes


    ------

    Bonjour,

    Je dois démontrer que si z0 est une racine de P(z)=z^3+2z^2-z-1 (avec z complexe) alors le conjugué de z0 est aussi une racine

    Je sais que l'on doit commencer par écrire que P(z0)=0 mais ensuite je bloque

    Merci pour votre aide

    -----

  2. #2
    breukin

    Re : Nombres complexes

    C'est quoi le conjugué de la somme ?
    C'est quoi le conjugué du produit ? Puis d'une puissance ?
    Et donc, finalement, c'est quoi le conjugué d'un polynôme ?

  3. #3
    silk78

    Re : Nombres complexes

    Bonjour,

    Le plus simple est tout simplement d'étudier le conjugué de P(z0).

    Ensuite, tu as besoin de quelques propriétés :
    1)
    2)
    3) (découle de 2)
    4)

    Bon courage,
    Silk


    Edit : je me suis fait doubler en beauté ^^

  4. #4
    cedbart

    Re : Nombres complexes

    conjugué de la somme=somme des conjugué
    conjugué du produit=produit des conjugué
    donc le conjugué d'un polynôme=polynôme des conjugué

    Il me suffit simplement de dire sa pour justifier mon exercice??

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    silk78

    Re : Nombres complexes

    Bah explique ce que vaut le conjugué de P(z), applique ça en z0 et conclue.

  7. #6
    cedbart

    Re : Nombres complexes

    conjugué de P(z)=P(z)
    or
    conjugué de P(z0)=P(z0conjugué)

    donc si z0 est une racine alors z0 conjugué est aussi une racine

  8. #7
    Elie520

    Re : Nombres complexes

    En fait, il faut réussir à démontrer que si est un polynôme à coefficients réels et que , alors :

    .

    (Ce sont les principales étapes).

    P.S.: revient à prendre .
    Quod erat demonstrandum.

  9. #8
    silk78

    Re : Nombres complexes

    P.S.: P(z)=a revient à prendre P'(z)=0
    Qu'est-ce que tu veux dire par là ?

  10. #9
    cedbart

    Re : Nombres complexes

    Dsl mais je ne comprend plus rien

  11. #10
    silk78

    Re : Nombres complexes

    Il faut que tu prouves et que tu appliques ça à z0.

    (Attention : le conjugué de P(z) n'est pas toujours égal à P(z), en fait c'est le cas que si P(z) est réel)

  12. #11
    cedbart

    Re : Nombres complexes

    Dans notre cas P(z)=z^3+2z^2-z-1 donc P(z) est réel donc
    conjugué de P(z)=P(conjugué z)=P(z)

    P(z0)=z0^3+2z0^2-z0-1=0
    et ensuite?
    j'ai du mal à comprendre ce qu'il faut trouver

  13. #12
    silk78

    Re : Nombres complexes

    Non P(z) n'est pas réel sur C (même si il est à coefficient réel), par exemple : P(i)=-3-2i.

    Par contre en utilisant les propriétés que je cite plus haut tu peux prouver que .

    Donc donc le conjugué de z0 est bien racine.

  14. #13
    Elie520

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par silk78 Voir le message
    Qu'est-ce que tu veux dire par là ?
    Je voulais dire Q(x), mais pas la dérivée, désolé de m'être mal exprimé
    Quod erat demonstrandum.

  15. #14
    Elie520

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par silk78 Voir le message
    Il faut que tu prouves et que tu appliques ça à z0.
    Même pas besoin de passer par , il suffit de partir de

    donc . Or .... *Démonstration* ..... D'où =0 CQFD
    Quod erat demonstrandum.

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