Nombres complexes

[invite328c4d97]

Bonjour,

Je dois démontrer que si z0 est une racine de P(z)=z^3+2z^2-z-1 (avec z complexe) alors le conjugué de z0 est aussi une racine

Je sais que l'on doit commencer par écrire que P(z0)=0 mais ensuite je bloque

Merci pour votre aide
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[breukin]

C'est quoi le conjugué de la somme ?
C'est quoi le conjugué du produit ? Puis d'une puissance ?
Et donc, finalement, c'est quoi le conjugué d'un polynôme ?

[silk78]

Bonjour,

Le plus simple est tout simplement d'étudier le conjugué de P(z₀).

Ensuite, tu as besoin de quelques propriétés :
1)
2)
3) (découle de 2)
4)

Bon courage,
Silk


Edit : je me suis fait doubler en beauté ^^

[invite328c4d97]

conjugué de la somme=somme des conjugué
conjugué du produit=produit des conjugué
donc le conjugué d'un polynôme=polynôme des conjugué

Il me suffit simplement de dire sa pour justifier mon exercice??

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Bah explique ce que vaut le conjugué de P(z), applique ça en z₀ et conclue.

[invite328c4d97]

conjugué de P(z)=P(z)
or
conjugué de P(z0)=P(z0conjugué)

donc si z0 est une racine alors z0 conjugué est aussi une racine

[Elie520]

En fait, il faut réussir à démontrer que si est un polynôme à coefficients réels et que , alors :

.

(Ce sont les principales étapes).

P.S.: revient à prendre .

[silk78]

P.S.: P(z)=a revient à prendre P'(z)=0

Qu'est-ce que tu veux dire par là ?

[invite328c4d97]

Dsl mais je ne comprend plus rien

[silk78]

Il faut que tu prouves et que tu appliques ça à z₀.

(Attention : le conjugué de P(z) n'est pas toujours égal à P(z), en fait c'est le cas que si P(z) est réel)

[invite328c4d97]

Dans notre cas P(z)=z^3+2z^2-z-1 donc P(z) est réel donc
conjugué de P(z)=P(conjugué z)=P(z)

P(z0)=z0^3+2z0^2-z0-1=0
et ensuite?
j'ai du mal à comprendre ce qu'il faut trouver

[silk78]

Non P(z) n'est pas réel sur C (même si il est à coefficient réel), par exemple : P(i)=-3-2i.

Par contre en utilisant les propriétés que je cite plus haut tu peux prouver que .

Donc donc le conjugué de z₀ est bien racine.

[Elie520]

Qu'est-ce que tu veux dire par là ?

Je voulais dire Q(x), mais pas la dérivée, désolé de m'être mal exprimé

[Elie520]

Il faut que tu prouves et que tu appliques ça à z₀.

Même pas besoin de passer par , il suffit de partir de

donc . Or .... *Démonstration* ..... D'où =0 CQFD