Générateurs d'un groupe de Lie

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je n'ai pas réussi à trouver la définition exacte d'un générateur d'un groupe de Lie. Est-ce un élément d'une base de l'algèbre de Lie canoniquement associée ? Y a-t-il un rapport avec les générateurs pour les groupes discrets ? En quoi sont-ils des générateurs (que génèrent-il ?) ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invited749d0b6]

Bonjour,

Ils sont des générateurs par l'intermédiaire de l'application "exponentielle". Tout élément d'un groupe de Lie connexe peut s'écrire comme produit avec les appartenant à une base de l'algèbre de Lie.

[Seirios]

Un peu plus de détails ?

[Seirios]

Ils sont des générateurs par l'intermédiaire de l'application "exponentielle". Tout élément d'un groupe de Lie connexe peut s'écrire comme produit avec les appartenant à une base de l'algèbre de Lie.

Ce ne serait pas plutôt les éléments d'une algèbre de Lie qui s'écriraient ainsi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Salut,

Je crois que c'est un terme plutot utilisé par les physiciens (?) je crois qu'on parle aussi de générateurs infinitesimaux, justement pour faire la différence avec le cas discret.

Sauf erreur de ma part, l'idée est la suivante : les groupes de Lie sont des objets "continus", et donc ils sont trop gros pour avoir un systeme fini de générateurs comment peuvent parfois en avoir les groupes discrets.

En revanche, une algebre de Lie est un espace vectoriel, donc un objet "lineaire", et pour peu qu'elle soit de dimension finie, alors on peut trouver une base, ou plus generalement un systeme de générateurs fini.

Ensuite, meme si ca n'est pas forcement le but premier avec ces generateurs infinitesimaux, on a cette application exponentielle qui va de l'algebre de Lie dans le groupe, et qui est surjective si ma memoir est bonne dans le cas ou le groupe de Lie est simplement connexe.

[invited749d0b6]

Bonjour,

Soit un groupe de Lie d'algèbre de Lie , et d'unité .
Soit la multiplication à gauche dans le groupe de Lie.
Soit un champ de vecteur sur le groupe de Lie tel que.
Pour un vecteur du plant tangent en , on peut construire un champ avec cette propriété en posant .
L'application "exponentielle" est défini comme ceci. On considère telle que (avec comme ci-dessus, et ). Et on pose.
car
Soit une base de l'algèbre de Lie.
est un difféomorphisme en . Donc l'image d'un certain voisinage de est un voisinage de . Donc si le groupe est connexe, en prenant l'ensemble des éléments de qui s'écrivent comme produit (éventuellement répété plusieurs fois) de , et l'ensemble des éléments qui ne s'écrivent pas de cette façon, on voit que ce sont deux ouverts. Donc le second est vide.
Je ne sais pas si c'est exact...

[invite69d38f86]

Une réponse avec les mains

En physique l'impulsion génère les déplacements

pour voir le lien entre l'exponentielle, le generateur et la transformation finie:


appelons g (comme générateur) l'opérateur dérivée par x

en 0 =
en 0

On a ainsi déplacé la fonction f.

(toute recherche de rigueur dans ce post serait inutile)

[Seirios]

Soit un groupe de Lie d'algèbre de Lie , et d'unité .
Soit la multiplication à gauche dans le groupe de Lie.
Soit un champ de vecteur sur le groupe de Lie tel que.
Pour un vecteur du plant tangent en , on peut construire un champ avec cette propriété en posant .
L'application "exponentielle" est défini comme ceci. On considère telle que (avec comme ci-dessus, et ). Et on pose.
car
Soit une base de l'algèbre de Lie.
est un difféomorphisme en . Donc l'image d'un certain voisinage de est un voisinage de . Donc si le groupe est connexe, en prenant l'ensemble des éléments de qui s'écrivent comme produit (éventuellement répété plusieurs fois) de , et l'ensemble des éléments qui ne s'écrivent pas de cette façon, on voit que ce sont deux ouverts. Donc le second est vide.
Je ne sais pas si c'est exact...

Une question de notation : que notes-tu ? Un lien avec la différentielle ?

[Seirios]

Sinon, la définition que j'ai donnée dans mon premier message des générateurs d'un groupe de Lie est bien correcte ?

[invite69d38f86]

Il ne semble pas que "générateur d'un groupe de Lie" fasse partie du vocabulaire des mathématiciens dans ce domaine. (j'ai feuilleté ps livres)
Retiens quand meme le lien que fait l'exponentielle entre le groupe de Lie et son algèbre Lie!

[invitebe0cd90e]

Sinon, la définition que j'ai donnée dans mon premier message des générateurs d'un groupe de Lie est bien correcte ?

Il me sembke que je réponds a ca dans mon message, mais pour reprendre point par point :

Est-ce un élément d'une base de l'algèbre de Lie canoniquement associée ?

Pour autant que je sache, oui.

Y a-t-il un rapport avec les générateurs pour les groupes discrets ?

Oui, en ce sens que comme je l'expliquais on ne peut pas vraiment avoir de générateurs au sens des groupes discrets, cad un ensemble "petit" d'élement qui permettent de reconstruire tout le groupe par produit. Donc ces "générateurs infinitesimaux" pallient a ce défaut, puisque ils sont (souvent) en nombre fini, ce qui nous amene a la question suivante :

En quoi sont-ils des générateurs (que génèrent-il ?) ?

Et bien ils generent l'algebre de Lie, justement, et l'application exponentielle te dit que moralement l'algebre de Lie determine dans pas mal de cas la structure du groupe. Donc ils n'engendrent pas vraiment le groupe, mais la version "lineaire" du groupe, et en un certain sens ils contiennent quand meme toute l'information sur le groupe.

[Seirios]

Il ne semble pas que "générateur d'un groupe de Lie" fasse partie du vocabulaire des mathématiciens dans ce domaine. (j'ai feuilleté ps livres)
Retiens quand meme le lien que fait l'exponentielle entre le groupe de Lie et son algèbre Lie!

Y a-t-il éventuellement des mots clés particuliers que je pourrais utiliser dans mes recherches ?

[invite69d38f86]

si le groupe G est compact l'application exponentielle est surjective donc pour tout element g
du groupe il existe un element z (un générateur du groupe de Lie) de l'algebre de Lie tel que g = exp (z)
Dans ce cas il existe un flot reliant e à g dont la tangente en e caractérise z
ce z n'est pas forcément unique.
Je lis dans l'Universalis que cette fonction exponentielle est bijective quand G est résoluble et simplement connexe.

[invite69d38f86]

Il y a pas mal de choses (en anglais) ici sur l'exponentielle.

A noter que souvent on écrit le groupe de Lie en majuscule et son algèbre de Lie en minuscule: SU(n) et su(n)