continuité

[invite616a69c2]

Bonjour,

la définition de la continuité nous dit:
pour tout il existe tel que pour tout x appartenant à I,
Ma question est celle ci: A quel moment peut on utiliser l'égalité?

je travaille sur les DL et je veux montrer:
f admet un DL en a à l'ordre O ssi f est continue en a.
En utilisant la définition des DL je trouve
pourquoi peut on en déduire que f est continue en a?

Merci de votre aide
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[invite8d54258a]

Soit .

La fonction est définie sur un voisinage de et .

Donc ce que l'on réécrit via ton égalité .

Ainsi, , on a prouver l'existence d'un , tel que , l'implication est vraie.

Voila.

[invite616a69c2]

C'est gentil d'avoir répondu aussi vite mais j'ai un peu de mal avec les voisinages, serait-il possible de m'expliquer plus simplement

merci d'avance

[invite8d54258a]

C'est quoi ta définition de f admet un développement limité d'ordre 0 en a ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite616a69c2]

on dit quef admet un développement limité à l'ordre n en a s'il existe un polynome et une fonction définie sur I et continue en a tels que:

pour tout x de I,

[invite8d54258a]

Ca signifie quoi que ?

[invite8d54258a]

Tu veux prouver que f est continue en a, c'est-à-dire que :

Donc soit ;
Il s'agit de trouver tel que ... etc.

Pour cela on utilise les hypothèses, comme par exemple le fait que tend vers lorsque tend vers ;

Cette dernière affirmation signifie que ;

Si c'est vrai pour tout les , c'est en particulier pour celui qu'on c'était fixé au début : on choisit donc (qui est bien strictement positif par hypothèse).

Ainsi, .

On ré-écrit : .

Conclusion :
quelque soit , on a trouvé , tel que .

[invite616a69c2]

Ok merci beaucoup d'avoir comblé ma lacune.
du coup, quand on dit qu'une fonction f est continue en a, on peut mettre f(x)=f(a)+ avec à chaque fois si j'ai bien compris.

Encore merci et bon week-end