Angles

[invite292e91f0]

Bonsoir,
J'ai un petit problème que je n'arrive pas à résoudre... en fait, je vois le résultat mais je n'arrive pas à le démontrer formellement.
On considère un repère mobile sur et l'angle de la tangente à en z avec . On a alors

Pourquoi ? (J'espère ne pas avoir écrit de connerie en retranscrivant le truc :/)
Je vous remercie par avance
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[invite292e91f0]

Bonjour,
Je me permets de faire remonter le sujet... personne ne peut m'aider ? :/
Merci

[KerLannais]

Salut,

Il manque quelques détails à ta présentation. Je suppose que ton repère mobile est en translation curviligne? et que du coup les vecteurs de ton repère mobile sont inchangés et tous le temps égaux au vecteurs d'une base orthonormale donnée au départ, seul l'origine de ton repère parcours le cercle .

Note que si tu considère le repère polaire classique constitué d'un vecteur radial et un vecteur orthoradial alors l'angle que fait la tangente à à n'importe lequel des vecteurs du repère est constant et l'intégrale que tu calcules est alors nulle Si ton repère est autorisé a faire d'autres mouvements farfelus alors il n'y a pas de raison que tu ne puisse pas obtenir n'importe quel résultat pour ton intégrale ou au moins n'importe quel multiple de si la trajectoire de l'origine de ton repère est simple.
Note aussi que dans le cas d'une translation et ne dépendent pas de .

L'application qui à chaque instant te donne la position de l'origine du repère est un paramétrage de dont tu ne précise pas la régularité. Je suppose donc qu'il est régulier.

Si le repère est en translation alors l'angle que fait la tangente à est facile à exprimer en fonction du point de où tu te trouves puisque le repère en se point est clairement déterminé (quelque soit le paramétrage de l'origine du repère). On peut alors considérer le paramétrage unitaire de :


On a alors simplement

où est l'angle que fait avec la tangente au point
et dans ce cas en appliquant la définition de l'intégrale curviligne et puisque on a donc


Note que si tu veux une réponse plus précise il faut aussi que ta question soit plus précise

Tu peux aussi raisonner avec des revêtements de mais tu vois bien qu'il faut préciser comment se déplace l'origine de ton repère sur le cercle si tu veux effectivement obtenir puisque ton repère peut éventuellement avancer et reculer plusieurs fois et faire 0, 1, 2 ou plus de tours dans n'importe quel sens ce qui change la valeur de l'intégrale.

[invite292e91f0]

Bonsoir,
Merci de m'avoir répondu. En fait, je ne sais pas si ça change quelque chose, mais je me suis légèrement trompé dans mon énoncé.
En réalité, est un repère mobile sur un voisinage du disque. Et on considère le cercle orienté comme bord du disque (je suppose que c'est naturel, mais je ne suis pas très fort en géométrie, alors je préfère préciser).
On n'a pas, a priori, davantage d'informations. En particulier, il n'y a aucune raison pour que ce repère mobile soit en translation curviligne...
Et je n'ai pas d'autres précisions, à part que l'origine du repère se déplace de manière .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite292e91f0]

Désolé pour le doublon, je n'ai pas été assez rapide pour éditer.

Je pense que le résultat doit venir du fait que le champ de vecteurs n'a pas de zéro à l'intérieur du disque... mais je n'arrive pas à le formaliser, ni à dire pourquoi.