Anneau quotient et factorialité ?

[invite97a526b6]

Bonjour, voici ma question:

Soit A anneau factoriel,
Soit a un idéal de A,
A quelles conditions sur a, A/a est factoriel ?

Réciproquement:
A/a est factoriel,
A quelles condition sur a, A est-il factoriel ?

Il me semble que il faut et il suffit que a soit un idéal premier, mais je bute sur la démonstration:
A/a factoriel <=> a idéal premier de A ?

Merci pour éléments de réponse.
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[invite4ef352d8]

Salut !

Un anneau factoriel est avant tout un anneau intègre, donc oui il faut evidement que l'ideal a soit premier. mais je ne crois pas que ca soit suffisant... si tu pars d'un anneau principale alors c'est une CNS car le quotient d'un anneau principale est encore principale et principale=>factoriel, mais si tu va chercher des quotient de C[x,y] avec a un ideal principale engendré par un polynome premier je pense pas que le quotient soit toujours factorielle (surtous si on quotiente par une courbe singulière...).