Bonjour, j'ai le souci suivant :
On pose .
Je veux montrer que n'est pas factoriel, ce qui est trivial si l'on montre que sont irréductibles dans , ce qui est déjà moins évident...
Pour , tout va bien.
En effet,

est équivalent à :
avec et de degré inférieur à en (on effectue des divisions euclidiennes pour le montrer).
Il est clair que est de degré en .
On suppose alors que et sont de degré en et on arrive à une absurdité par identification.
Donc ou est de degré en et il est simple de montrer que celui des deux qui est de degré en est inversible. Donc sa classe dans l'anneau quotient est inversible et est irréductible.

Le problème pour est que n'est pas unitaire comme polynôme de et on ne peut plus obtenir nos belles conditions sur les degrés de et de .
J'ai bien essayé de passer dans mais ça n'a rien donné.

Le prof a une solution qui oblige l'introduction d'une norme et ça ne me plait pas beaucoup.
Je voulais savoir si quelqu'un aurait une idée pour montrer l'irréductibilité de ...
Merci.