Fct de puissance problème STAT

[invitec529fad8]

Le pourcentage d'impureté dans une certaine quantité d'un mélange chimique est une variable aléatoire X ayant pour densité . On se propose
de confronter sur la base d'un échantillon de taille , et
ce, à l'aide de la région critique où est
une constante fixée.

Montrez que la fonction de puissance du test est donnée par .

Je ne vois pas comment faire apparaitre le log neperien. Habituellement, quand on a une probabilité il n'y a pas ce genre de choses.

Je peux dire que x1 et x2 sont indépendants, trouver l'espérance de
E[X1X2] = E[X1]E[X2] = E^2[X] qui me donne

Ensuite je trouve


Donc,

Enfin,
La fonction de puissance est définie ainsi:
= P(Rejeter H_0 | ) = .

Ensuite je soustrais la moyenne et divise par l'ecart-type, mais bon je ne vois pas comment faire apparaitre ce qui est demande.

La seule autre avenue que j'aurais pu considerer est de trouver le ln de f(x_1,x_2), mais ce n'est pas tout a fait clair que j'obtiens la bonne chose.

Enfin, a part le fait que ln soit une fct monotone croissante qu'est-ce qui justifie l'emploi du log dans ce cas?
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[inviteae4072e1]

calcul la fonction de répartition en t=c, puis prends l'évênement compémentaire.

[invitec529fad8]

calcul la fonction de répartition en t=c, puis prends l'évênement compémentaire.

Je ne comprends pas pourquoi tu veux calculer la fonction de répartition. Dans la fonction de puissance tu cherches la probabilité de rejeter H_0 sachant le paramètre theta. On rejette H_0 lorsque

x_1x_2 >= c, tel que c <1. Peux-tu préciser ton idée HAL 9000 s'il-te-plait?

[invitee089f46f]

Je ne comprends pas pourquoi tu veux calculer la fonction de répartition. Dans la fonction de puissance tu cherches la probabilité de rejeter H_0 sachant le paramètre theta.

Bonjour,

Attention ici le "sachant" ne signifie pas que c'est une probabilité conditionnelle.
Comme tu l'as remarqué, la puissance en theta est P(x1x2>c) où x1 et x2 ont la densité correspondant à theta (c'est cela le sens du "sachant").
Et on a P(x1x2>c)=1-P(x1x2<=c), il s'agit donc de déterminer la fonction de répartition de x1x2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec529fad8]

Bonjour,

Attention ici le "sachant" ne signifie pas que c'est une probabilité conditionnelle.
Comme tu l'as remarqué, la puissance en theta est P(x1x2>c) où x1 et x2 ont la densité correspondant à theta (c'est cela le sens du "sachant").
Et on a P(x1x2>c)=1-P(x1x2<=c), il s'agit donc de déterminer la fonction de répartition de x1x2.

Merci stokastik, je vais poursuivre cette avenue. Je vous en donnerai des nouvelles une fois le problème résolu, ou bien si j'ai encore quelques questions! :P

[invitec529fad8]

Je crois avoir trouvé une partie de la solution. Mais bon ce n'y est toujours pas.

Soit , , .

Alors la fonction de densité tel que , mais je crois qu'on peut aussi écrire sans problème. De plus, on a toujours que .

Or, = P(Rejeter | ) = .

Il ne me manque plus qu'à trouver la fonction de répartition de .

Cependant, comme vous le verrez ci-bas, j'ai de la difficulté avec le calcul de l'intégrale puisque je n'arrive pas au bon résultat. Quelqu'un pourrait m'aider?

C'est l'étape suivante dont je ne suis pas certain. Je dis
et je suis assez loin du compte.

[invitec529fad8]

1) Est-ce que ma fonction de densité est correcte? Sinon, que faut-il changer?

2) Est-ce que les bornes de mon intégrale pour la fonction de répartions sont correctes? Sinon que faut-il changer?

Merci.

[invitec529fad8]

Quelqu'un a une idée de la façon dont il faut poursuivre. J'ai beau cherché je n'arrive pas à trouver la bonne méthode.

J'aimerais précisé qu'il y avait une erreur dans l'intégrale que je corrige ci-dessous. J'ai aussi pensé changer la borne de. Tel que . De plus, et là je ne comprends pas pourquoi, en supposant que on obtient le bon résultat. Mais je suis incapable de le justifier.

J'ai vraiment besoin que l'on m'aide.



.

Soit , , .

Alors la fonction de densité tel que
De plus, on a toujours que .


Soit , , .

Alors la fonction de densité devrait être tel que
De plus, on a toujours que .

Or, = P(Rejeter | ) = .

[invitec529fad8]

Est-ce que quelqu'un a une idée sur ce qui cloche dans le problème.

[invitec529fad8]

J'ai continué à regarder le problème et la fonction de densité me semble correcte. Quelqu'un pourrait m'expliquer comment choisir les bornes pour ce problème s'il-vous-plait?

[inviteae4072e1]

Commençons par étudier ton évènement C, ou plus précisemment le complémentaire de C (que je note B).

B = {(x1,x2) tq x1x2 < c, 0<=x1<=1, 0<=x2<=1} = {(x1,x2) tq x1 < c/x2, 0<=x1<=1, 0<=x2<=1}

Donc on calcul la double intégrale :

int(x2 = 0,c) int(x1 = 0,c/x2) theta * x1 ^(theta-1) dx1 dx2

[invitec529fad8]

Commençons par étudier ton évènement C, ou plus précisemment le complémentaire de C (que je note B).

B = {(x1,x2) tq x1x2 < c, 0<=x1<=1, 0<=x2<=1} = {(x1,x2) tq x1 < c/x2, 0<=x1<=1, 0<=x2<=1}

Donc on calcul la double intégrale :

int(x2 = 0,c) int(x1 = 0,c/x2) theta * x1 ^(theta-1) dx1 dx2

Pourquoi est-ce que tu fais l'intégrale entre 0 et c pour x_2 et que tu dis dans la définition de B qu'il est entre 0 et 1 ?

[inviteae4072e1]

Pourquoi est-ce que tu fais l'intégrale entre 0 et c pour x_2 et que tu dis dans la définition de B qu'il est entre 0 et 1 ?

Déja mon résultat est faux Désolé.
x est compris entre 0 et 1 par définition, donc foçément si x < c/y y doit être compris entre c et 1 (et pas 0 et c come je l'ai écrit)

[invitec529fad8]

malgré cette correction tu n'obtiendras pas le bon résultat. Ton domaine d'integration donne a l'oeil c^theta - c / (1-theta). Tu te retrouves avec un 1/X^theta avant de faire l'integrale. Tu ne pourras pas faire apparaitre de ln de cette facon.

Je crois qu'il faut d'abord s'assurer que la fonction de densite soit correctement ecrite. La tu utilises la fonction de densite pour une seule variable. Je crois qu'il faut en trouver une pour x_1 et x_2 comme j'ai fait plus haut.

[invitec529fad8]

Est-ce que quelqu'un peut confirmer que la fonction de densité que j'ai trouvé à la bonne forme? Maintenant il faudrait trouver les bonnes bornes de l'intégrale.

[invitec529fad8]

Quelqu'un pour m'aider svp?