Définition exacte d'un morphisme ?

[Seirios]

Pour ta limite, tu peux utiliser simplement que est archimédien, ce qui donne directement : d'où tu obtiens le résultat en passant à l'inverse.
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[Cendres]

En relisant mes messages 13 et 23, il me semble assez clair que mon intention initiale n'était pas de créer de l'énervement. Bref, cette discussion a dérapé.

A partir du message 35, par exemple, ou 49?

[invitec1ddcf27]

bref, certains mathématiciens, et non des moindres, ont une prédilection pour le "délire théorisant" et pas trop apparemment pour les calculs (bien qu'il faille se méfier de certains assertions).

Cela dépend grandement du domaine mathématique. Aussi de la tournure d'esprit de chaque matheux.
Je suis formé par une très bonne technicienne. J'ai accroché à sa facon de faire des maths. Et j'ai sans doute adopté en partie sa facon de faire.

Ce que j'appelle "délire théorisant", c'est pas très claire. En fait, c'est plutot un grief contre l'attitude certains qui refusent le moindre calcul, qui dénigre les stats/l'analyse numérique, etc... qui préférent manipuler des définitions plutot que des formules. Bien que je sois moi même fasciné par la beauté de certaines théories. Quand j'ai suivi un cours sur les C-étoile algèbres, j'ai trouvé très beau la manière dont on peut retrouver facilement des résultats très difficiles dans le cas de l'espace des matrices. D'une certaine manière, plus le contexte est abstrait, plus les preuves sont faciles (exple simple : le thm de composition pour la différentiabilité... c'est un peu technique pour des fonctions d'une variable réelle, alors que pour des applications entre des variétés il n'y a plus qu'a manipuler la définition et ca prend 3 lignes). Malgré cela, je suis convaincu que pleins de résultats d'analyse ne peuvent s'obtenir que par des calculs et par des astuces.

Ambrioso, je regarderais avec interet la référence que tu donnes.

[invite986312212]

l'essentiel est d'admettre qu'il y a d'autres points de vue qui ont leur légitimité.

si tu veux un exemple de branche des mathématiques où il y a peu de résultats généraux et beaucoup de méthodes astucieuses, il y a la combinatoire. D'ailleurs j'ai entendu dire (par un combinatoricien) que les "bourbakistes" méprisaient un peu cette discipline.

[invite4a9059ea]

Bonjour ;

Définition générale d'un morphisme :

Soit E et F deux ensembles munis respectivement des l.c.i * et T . On appelle morphisme de (E,*) dans (F,T ) une application f de E F telle que :

* = T



c'est peut être un peu naif de ma part mais j'ai l'impression qu'un morphisme n'est rien d'autre qu'une application qui vérifie la propriété ci-dessus ........

Cdt

[Médiat]

Bonjour ;

Définition générale d'un morphisme :

Soit E et F deux ensembles munis respectivement des l.c.i * et T . On appelle morphisme de (E,*) dans (F,T ) une application f de E F telle que :

* = T



c'est peut être un peu naif de ma part mais j'ai l'impression qu'un morphisme n'est rien d'autre qu'une application qui vérifie la propriété ci-dessus ........

Cdt

Bonjour,
cette définition est correcte quand on parle de morphisme entre deux structure munie d'une LCI (qui est fait est une fonction binaire), mais ne marche plus pour toutes les autres structures, par exemple quand les structures sont munies d'une relation binaire (comme une relation d'ordre, par exemple).
Pour une définition générale, voir mon message # 2. Pour être propre, il faudrait écrire correctement les propriétés que j'ai décrites en français.

[invite5a750395]

Comme il a été dit au début de la discussion, cette définition concerne plutôt uniquement les morphismes entres magmas (entre deux ensemble E et F munis de lois internes).

Au passage cette définition fonctionne aussi pour définir les morphismes de groupe (entre deux groupes).

Et justement ma question au début de la discussion c'était de savoir quelle était la définition générale, car tu remarqueras que les définitions de "morphisme" varient en fonction des structures que tu utilises (magmas-groupes/anneaux/espaces vectoriels ...).

Edit : grillé par Médiat.

[invite4a9059ea]

une question pour Médiat quelle est la différence entre une structure et un ensemble car là ou j'ai mis le mot ensemble lui à préférer mettre le mot structure ...

merci
cdt

[invitec1ddcf27]

une question pour Médiat quelle est la différence entre une structure et un ensemble car là ou j'ai mis le mot ensemble lui à préférer mettre le mot structure ...

Je suis pété de rire. Médiat, tu vois bien que ce type de vocabulaire est difficile à manipuler pour bcp de jeunes étudiants. Si tu as le courage d'expliquer les choses, c'est très bien.
Je crois qu'à la base le seul objet de notre discorde est celui ci : comme pour moi, pour faire des maths, il n'est pas indispensable de manipuler ce vocabulaire voire des concepts un plus abstraits, je pense que ce n'est pas forcément judicieux de l'introduire aux débutants. Voila tout.

[Médiat]

Au passage cette définition fonctionne aussi pour définir les morphismes de groupe (entre deux groupes).

C'est pourquoi je préfère parler de morphisme pour le langage L(+), par exemple plutôt que de morphisme de groupe, comme cela il n'est nul besoin de faire allusion à la théorie, c'est à dire aux axiomes (c'est donc la même différence qu'entre structure et modèle, cf. ma réponse à Phys2).

[Médiat]

une question pour Médiat quelle est la différence entre une structure et un ensemble car là ou j'ai mis le mot ensemble lui à préférer mettre le mot structure ...

Dès qu'un ensemble est muni de quelque chose parmi (constante, fonction, relation), c'est une structure.

Soit on considère que le verbe "munir" est actif et alors la phrase "Soit E un ensemble muni d'une LCI" signifie quon parle d'un ensemble sur lequel on définit une LCI et ainsi il devient une structure (et donc votre phrase est correcte).

Soit on considère que le verbe "munir" est passif et alors la phrase "Soit E une structure munie d'une LCI" signifie que c'est une LCI qui a permis de fabriquer une structure à partir d'un ensemble (et donc les deux phrases sont synonymes).

[invite4a9059ea]

trés bien , merci Médiat
Toutes ces explications sont trés utiles car nous permettent de faire la part des choses ....

Cdt

[Médiat]

Je suis pété de rire.

Je vous reconnais bien là.

Médiat, tu vois bien que ce type de vocabulaire est difficile à manipuler pour bcp de jeunes étudiants. Si tu as le courage d'expliquer les choses, c'est très bien.

Expliquer des mathématiques aux gens de passage sur ce forum, est ma principale raison d'être présent sur ce forum, ce n'est pas une question de courage !

Au fait si vous n'êtes pas là pour expliquer aux autres, qu'y faites-vous alors, vous un enseignant ?

Je crois qu'à la base le seul objet de notre discorde

Oh non !

[invite0b61d62b]

Morceau choisi :

Pourquoi ces rétissences de votre part. Vous êtes vous acclimaté à ma présence ? Mon abscence risque t-elle de vous péner ?

Réticences, absence, peiner ; j'espère que vos étudiants ont une orthographe plus sûre ; pratiquer les mathématiques n'exclut pas de connaître le français. Un peu désordre pour un enseignant...

Jean

[invite5f67e63a]

Bonjour,
Oulah animée cette discussion, je m'etonne que personne n'ait utilisé le point de vue catégoriste justement, qui est sans doute a l'heure actuelle le plus utilisé (enfin en tout cas dans mes branches de spécialisation, géométrie algébrique, arithémtique, et théorie des nombres).

Une catégorie ce sont des objets, et des fleches (les morphismes), qui verifient certaines propriétés (tu peux les composer, et tu as une application identité).

Ensuite de manière moins catégoriste, un morphisme c'est souvent comme il a été dit, une application qui respecte la structure, qu'est ce que ca veut dire? Ben pas grand chose, mais c'est assez evident une fois que tu manipule un peu, une structure c'est un ensemble+autres choses, et tu veux que tes applications ensemblistes respectent ces autres choses, ca peut etre une addition, un ordre etc...

Mais le point de vue catgéoriste me semble supérieur, par exemple dans le cas des applications continues et espace topologique, en fait tu choisis de manière ad hoc ce que sont les morphismes.

Est ce qu'il est sain de défnir precisement ce qu'est une structure, je n'en sais rien, l'immense majorité des matheux (depuis quand c'est pejoratif ca, je suis jeune mathématicien, et je me presente souvent comme matheux... voila d'ailleurs un aricle de Breuil, donc aps un rigolo où il se qualifie de matheux, bref) ne savent pas formellement ce que c'est qu'une structure, on connait des structures, on sait en reconnaitre quand on en voit une, mais la definition de structure... Je pense vraiment pas que ce soit necessaire d'en avoir une conaissance formelle, tout comme celle de morphisme, on a des morphismes en situation, et virtuellement n'importe quoi peut etre un morphisme (d'ailleurs une notion un peu complexe comme un morphisme de schéma peut elle etre qualifiée d'application (ce n'en est deja pas une) qui respecte la structure?)

Ca me fait penser a J.P Kahane qui disait que donner des definitions precises de certaines choses etait dangereux, qu'on avait des definitions precises en situation, mais quelque fois les termes designaient des champs plus ou moins delimités, dont il ne fallait pas se soucier vraiment de definir la portée, et comme exemple il disait "l'intégrale c'est la quantité de quelques chose dans un domaine".

Ca me semble vraiment la façon caractéristique de proceder du matheux, y a certains concepts un peu flou (canonique par exemple), mais qu'en situation, on ne peut pas se tromper, de meme un morphisme on sait ce que c'est... meme si on est pas capable d'en donner une définition formelle (et je parle meme pas des motifs, qu'on manipule depuis un demi siècle et dont personne n'a encore la bonne définition).

Pour la dualité calcul/abstraction, la aussi, je ne peux donner que le point de vue de mon domaine, et c'est un domaine où il y a enormement d'abstraction, c'est la geom algébrique... Alors des calculs y en a certes un peu... Mais y a beaucoup de gens qui bossent dans ce domaine, tous ne sont pas Grothendieck, et on est obligé de gerer cette abstraction et de trouver aussi de nouveaux concepts au jour le jour.
C'est d'ailleurs parfois problematique, pour ma part je me rappelle qu'au debut de mon apprentissage de la geom alg, ca me saoulait franchement de faire des calculs sur une vrai courbe algébrique, de savoir vraiment ce qu'etait un eclatement sur une vrai courbe par rapport a un point, ou ce genre de chose, alors que la théorie coule d'elle meme. J'ai plus tard compris que cette maniuplation etait essentielle, mais tacite, et qu'en fait elle permet de comprendre les choses... mais n'apparait ensuite nulle part.

Voila, pour ma maigre contribution.

[Médiat]

Est ce qu'il est sain de défnir precisement ce qu'est une structure, je n'en sais rien

Est-ce qu’il est sain de donner des définitions des concepts et objets manipulés quand on fait des mathématiques ? Cette question me trouble, il me semble que la théorie des catégories est très précisément l’étude des structures, alors dire que définir l’objet principal de son étude n’est pas sain, me paraît, a minima, bizarre.

un morphisme on sait ce que c'est... meme si on est pas capable d'en donner une définition formelle

Certes, certains savent ce que c’est, mais justement on peut en donner une définition formelle, et en plus elle est très simple, alors pourquoi s’en passer ?

Une précision : la petite guéguerre entre tenants des catégories et tenants de ZF pour savoir laquelle de ces deux théories est la plus à même de fonder les mathématiques ne m’intéresse absolument pas, soit l’une de ses deux théories est incapable d’exprimer l’autre et elle est ipso facto disqualifiée comme fondatrice, soit chacune peut exprimer l’autre (et il me semble que nous sommes dans ce cas), et faire un choix peut avoir une raison opérationnelle, mais du pur point de vue théorique (épistémologique) ce choix n’a aucun intérêt (ce qui en a c’est de savoir que l’on peut fonder les mathématiques sur une seule théorie).

Une précision linguistique :

MATHÉMATICIEN , -IENNE n. XIVe siècle. Dérivé de mathématique.
Personne qui fait son étude principale des mathématiques, qui s'occupe d'ouvrages ou de travaux propres à cette discipline

Matheux, -euse, subst., fam., dans le lang. des écoliers, des lycéens, des étudiants. Celui, celle qui étudie les mathématiques et, en partic., qui est doué dans cette matière.

Donc je suis bien mathématicien et non matheux mot qui n’apparaît même pas dans le dictionnaire de l’académie française, ce qui est en soi, pour moi, une raison suffisante de ne pas me sentir "matheux".

[invite5f67e63a]

Est-ce qu’il est sain de donner des définitions des concepts et objets manipulés quand on fait des mathématiques ? Cette question me trouble, il me semble que la théorie des catégories est très précisément l’étude des structures, alors dire que définir l’objet principal de son étude n’est pas sain, me paraît, a minima, bizarre.

Certes, certains savent ce que c’est, mais justement on peut en donner une définition formelle, et en plus elle est très simple, alors pourquoi s’en passer ?

Bien sur qu'il est sain de donner des definitions formelles des objets manipulés en maths en general, il serait absurde de ne pas definir la notion de groupe formellement par exemple.

Le probleme c'est que certaines definitions peuvent etre reductrice, bon j'avoue ne pas connaitre la définition de structure (avez vous une reference, ou pouvez vous la donner par exemple), mais je doute que des notions assez complexes, comme par exemple un site, soit considéré comme une structure (vu que bourbaki ignore justement les catégories, et qu'il me semble que c'est lui qui définit "structure"), alors que dans l'esprit c'est bien une structure, pas si eloignée de celle d'espace topologique d'ailleurs (d'ailleurs est ce qu'une application continue est bien selon la definition logique, un morphisme d'espace topologique?)

C'est pour ca que je pense pas qu'il soit absolument necessaire de tout formaliser, surtout des concepts qui n'ont pas vraiment a l'etre. Notemment aupres du débutant (par exemple, qui pense a un polynome comme une suite presque nulle?). Pour le profesionnel, je pense qu'il se passe tres bien de formulation, comme celle de structure ou de canonicité, en fonction de son domaine. Encore une fois, parce que la formalisation de ses concepts est reductrice (voir mon laius sur kahane et l'intégrale, d'ailleurs il dit lui meme que certaines definitions sont dangereuses, ou mal venues, et qu'il y a des choses qu'il vaut mieux ne pas definir, comme "intégrale" par exemple).

Apres que ceci soit indispensable en logique, sans doute, et dans ce cas vous avez raison de le faire.

Pour répondre au fait que l'on ne definit pas des structures en théorie des catégories, on definit des structures bien sur, de la facon la plus rigoureuse qui soit, mais on y definit pas en general la notion de structure, c'est tout.

L'autre point sur les querelles de clocher, est aussi interessant je trouve, je ne me bats pas pour faire triompher le point de vue catégoriste en tant que théorie fondatrice, je dis juste que c'est un autre point de vue, or pour faire des mathématiques, il me semble, (mais peut etre pas de la logique, je n'en sais rien) le point de vue est qqch d'essentiel (A nouveau, les polynomes et les suites presque nulles, mais aussi le calcul diff a la Leibniz et a la Newton, l'un est infiniment supérieur a l'autre, pourtant formellement c'est la meme chose, ou alors l'ecriture decimale ou l'ecriture en chiffre romain...). Et tous les progres de la géométrie de ces 50 dernieres années, soit justement dues au point de vue catégoriste qui s'est imposé partout.

Et je peux vous assurer qu'il n'y a pas trop de querelle de clocher, de ce point de vue là, des matheux (du moins ce avec lesquels je travaille ), qui se soucient assez peu des questions de fondemment justement (il n'y a qu'a voir que la plus part des cours sur les catégories ignorent volontairement et ouvertement, tous les problemes logiques qui peuvent se rencontrer, au niveau des cardinaux par exemple, et au niveau du fait que la collection des objets ne soit pas forcement un vrai ensemble, et qu'en general on ne considère que de petites catégories, combien de mathématiciens, parlent de la catégorie des ensembles ou des groupes, sans plus d'autre précisions).

[invite986312212]

j'ai l'impression que tout le monde est à peu près d'accord sur le fond, mais que les recommandations des uns et des autres ne s'adressent pas au même public.
Quand Therodre préconise de ne pas donner de définition trop précise du concept de morphisme, il pense à ne pas brider l'imagination du chercheur en mathématiques.
Quand Xav75 préconise de ne pas introduire de prime abord la notion générale de morphisme, mais de donner plutôt des exemples particuliers, il pense au débutant.
Et Médiat ? entre les deux? il y a bien un moment où il faut s'abstraire des exemples et considérer la notion générale.

je me suis demandé si ça serait raisonnable d'étudier la théorie des catégories sans rien savoir des monoïdes, groupes, etc. En tout cas je trouve très difficile de penser aux morphismes autrement qu'en termes d'ensembles et applications, alors que rien dans la définition des morphismes d'une catégorie ne dit qu'il s'agit d'applications. Difficile de retrouver la naïveté du débutant.

[Médiat]

Le probleme c'est que certaines definitions peuvent etre reductrice, bon j'avoue ne pas connaitre la définition de structure (avez vous une reference, ou pouvez vous la donner par exemple), mais je doute que des notions assez complexes, comme par exemple un site, soit considéré comme une structure (vu que bourbaki ignore justement les catégories, et qu'il me semble que c'est lui qui définit "structure"), alors que dans l'esprit c'est bien une structure, pas si eloignée de celle d'espace topologique d'ailleurs (d'ailleurs est ce qu'une application continue est bien selon la definition logique, un morphisme d'espace topologique?)

http://www.lsv.ens-cachan.fr/~carre/...re_modeles.pdf, regardez la définiton de "Réalisation de L" (dans cette définition il n'y a pas l'interprétation des constantes, je suppose que pour l'auteur, une constante est juste une fonction d'arité-0).

Dans ce document, la définition de "Homomorphisme de L-Structure" n'est pas fausse, mais les notations ne sont pas forcément connus des non logiciens (et j'aurais volontiers ajouter un indice), je préfère en donner une autre (équivalente) :

Soit un langage , où les sont des symboles de constantes, les des symboles de fonctions d'arité , et des symboles de relations d'arité .

Je noterai la structure en exposant pour indiquer l'interprétation d'un élément du langage dans cette structure :

sont donc les éléments de , et qui interprètent les éléments de
sont donc les éléments de , et qui interprètent les éléments de L
Soit f une application de dans , f est un morphisme de dans si et seulement si :
Pour tout i (l'image d'une constante de la structure est la constante correspondante (c'est à dire interprétant le même symbole de constante du langage) de la structure ).
Pour tout i (que l'on applique "le calcul d'une fonction dans puis le morphisme", ou "le calcul du morphisme, puis la fonction correspondante dans ", le résultat est le même, vous reconnaissez une condition du genre "diagramme commutatif").
Pour tout i (si des éléments de sont en relation pour une relation alors leurs images dans B sont en relation pour la relation correspondante dans ).

On peut croire que cette définition générale est compliquée, ce n'est pas le cas, avec un tout petit peut d'habitude du "calcul formel", on voit bien que l'intention est claire, et que c'est bien la bonne définition (je ne la connais par coeur, je la sais pas son essence, il me suffit de l'écrire pour la retrouver).

Dans le cas de l'isomorphisme, il n'y a plus aucune raison de distinguer des structures isomorphes, puisque seuls les étiquettes (les noms) changent), mais pas les propriétés, ni les formules, ni même les ensembles infinis de formules, et c'est bien là qu'est l'essence de la notion de "isomorphisme".

Un cas particulier intéressant est le cas du langage réduit à l'égalité, le morphisme devient une simple application (et l'isomorphisme une bijection).

C'est pour ca que je pense pas qu'il soit absolument necessaire de tout formaliser, surtout des concepts qui n'ont pas vraiment a l'etre. Notemment aupres du débutant (par exemple, qui pense a un polynome comme une suite presque nulle?).

En terme pédagogique, tout est permis, à condition de garder en tête que certains veulent juste passer un examen, d'autres veulent avoir une compréhension de fond (la question initiale, portait bien sur une définition générale de morphisme, je ne vois pas comment j'aurais pu répondre "cela n'existe pas", ou "cela ne te regarde pas" )

Encore une fois, parce que la formalisation de ses concepts est reductrice

Et parfois (souvent) généralisante, comme la définition des catégories par exemples . Et c'est bien la formalisation qui permet de "comprendre l'essence du concept".

Pour répondre au fait que l'on ne definit pas des structures en théorie des catégories, on definit des structures bien sur, de la facon la plus rigoureuse qui soit, mais on y definit pas en general la notion de structure, c'est tout.

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L'autre point sur les querelles de clocher, est aussi interessant je trouve, je ne me bats pas pour faire triompher le point de vue catégoriste en tant que théorie fondatrice

Je ne voulais pas dire que vous aviez cette position, mais juste que cette orientation du débat ne m'intéressait pas.

A nouveau, les polynomes et les suites presque nulles

Voilà un bel exemple ou le logicien est à l'aise, puisque "formaliser la notion de polynome", c'est très exactement dire qu'il s'agit d'une suite à support fini.

Et tous les progres de la géométrie de ces 50 dernieres années, soit justement dues au point de vue catégoriste qui s'est imposé partout.

Il me semble que le point de vue modèle-théoriste a permis de faire de gros progrès en géométrie algébrique, par exemple le théorème d'Ax se démontre en deux coups de cuillère à pot avec les outils de la modèle théorie :

1. Introduction à la théorie des modèles : la logique a permis de façon un peu surprenante de démontrer des énoncés mathématiques difficiles de façon extrêmement simple. Le but du stage de recherche est d'en comprendre un exemple, le théorème d'Ax : soit X?Cn un sous-ensemble défini par des équations polynomiales. Soit f : Cn ? Cn polynomiale. Alors, si f induit une injection de X dans X, alors f induit une bijection de X. La preuve consiste essentiellement à justifier la phrase suivante : on peut supposer que C est un corps … fini !

Et je peux vous assurer qu'il n'y a pas trop de querelle de clocher, de ce point de vue là, des matheux (du moins ce avec lesquels je travaille ), qui se soucient assez peu des questions de fondemment justement (il n'y a qu'a voir que la plus part des cours sur les catégories ignorent volontairement et ouvertement, tous les problemes logiques qui peuvent se rencontrer, au niveau des cardinaux par exemple, et au niveau du fait que la collection des objets ne soit pas forcement un vrai ensemble, et qu'en general on ne considère que de petites catégories, combien de mathématiciens, parlent de la catégorie des ensembles ou des groupes, sans plus d'autre précisions).

Il est clair que la majorité des mathématiciens peuvent travailler sans jamais se poser la question des fondements (et c'est une autre bonne raison pour considérer les querelles de chapelle comme stupides et stériles).

Cordialement,

[Médiat]

Quand Therodre préconise de ne pas donner de définition trop précise du concept de morphisme, il pense à ne pas brider l'imagination du chercheur en mathématiques.
Quand Xav75 préconise de ne pas introduire de prime abord la notion générale de morphisme, mais de donner plutôt des exemples particuliers, il pense au débutant.
Et Médiat ? entre les deux? il y a bien un moment où il faut s'abstraire des exemples et considérer la notion générale.

Pas entre les deux, mais incluant les deux .

Encore une fois je n'ai jamais dit qu'il fallait donner la définition générale de morphisme avant d'en avoir vu quelques cas particuliers, le posteur initial voulait bien une réponse générale (puisqu'il s'étonnait d'avoir 3 définitions différentes).

Cordialement,

[Médiat]

Petite précision (oui je sais, je suis maniaque ), dans la définition d'un morphisme de L-Structure, j'ai écrit
pour tout i ...
et non i ...

Alors que j'ai bien utilisé les quantificateurs pour les "autres" variables, ce n'est pas un hasard, mais justement parce que i n'est pas une variable du langage, mais juste un moyen pratique de créer des étiquettes.

[invite5f67e63a]

On peut croire que cette définition générale est compliquée, ce n'est pas le cas, avec un tout petit peut d'habitude du "calcul formel", on voit bien que l'intention est claire, et que c'est bien la bonne définition (je ne la connais par coeur, je la sais pas son essence, il me suffit de l'écrire pour la retrouver).

C'est pas tant que je la trouve compliquée, plutot que peu eclairante

.

Je dis juste qu'en theorie des catégories, et globalement dans mon passé en maths, on ne m'a jamais definit ce qu'est une structure (comme vous venez de le faire), mais on m'a définit des exemples de structures (groupes, modules etc...).

C'est un peu pour moi comme essayer de définir "arithmétique", on dit souvent tel anneau, ou tel objet a un arithmétique tres riche, on voit tous de quoi on parle, sans avoir besoin de le definir (d'ailleurs Silvermann a ecrit un celebre bouquin "l'arithmétique des courbes elliptiques" )

Je me permettrai d'emprunter la citation d'un ami "Une structure, c'est comme du porno, on sait pas tres bien definir ce que c'est, mais on doit etre capable d'en reconnaitre si on en voit"

Il me semble que le point de vue modèle-théoriste a permis de faire de gros progrès en géométrie algébrique, par exemple le théorème d'Ax se démontre en deux coups de cuillère à pot avec les outils de la modèle théorie :

Tout a fait (c'est marrant que vous citiez cet exemple c'est effectivement le premier que j'ai rencontré, quand il a été presenté pour la première fois au seminaire des eleves a l'X, je ne savais pas qu'il avait muté en "stage" ), meme si ca reste quand meme un peu anecdotique, mais bien sur que la logique peut avoir d'enorme repercussion en maths proprement dites, vous avez cité cet exemple, mais la conjecture de Mordell-Lang (qui est infiniment plus importante) peut aussi etre démontré en théorie des modèles (on en possède des demonstrations purement geometriques, mais il me semble que la première fut une preuve utilisant les catégories de modèles).
Il y a d'ailleurs de nombreux seminaires de catgéories de modèles dans les labos de geo alg. (a Jussieu par exemple), aussi loin de moi de dire que la logique n'a pas d'utilité meme dans des mathématiques tres concretes.

Je ne fais aucunement le proces de la logique (comment le pourrais je deja, je n'y connais pour ainsi dire rien, mis a part le bouquin de Krivine de theorie des ensembles que j'ai lu en sup).

Je dis juste que quelques fois la formalisation n'est pas tres eclairante et que faire l'impasse dessus, peut etre positif (combien de fois n'etend on pas, un morphisme de bidule, c'est ceci avec les conditions de compatibilité que vous imaginez, ou un morphisme de faisceau, c'est machin, qui fait commuter le diagramme auquel on pense, et ca convient a tout le monde, et on voit ca meme dans les bouquins!). Il y a quand meme une part de jugeotte dans les maths.

Mais globalement nos points de vue se rejoignent, et je suis de toute façon le premier a hurler quand on ne me definit pas precisement les objets qu'on utilise, par contre, j'ai souvent compris aussi, qu'il y avait le formalisme et ce que le formalisme veut faire passer, et qui quelques fois est mieux transmissible si on sacrifie un peu aux canons de rigueurs habituels (typiquement lors de la conversation informelle, ou on dit "telle chose il faut la voir comme ca", ou "moralement c'est ca", il m'est arrivé de presenter la notion de polynome a des eleves de licence, je leur ai donné la def, et ai tout de suite ajouté, "cette définition ne sert a rien, empressez vous de l'oublier, voila comment il faut voir les choses")

[invité576543]

il m'est arrivé de presenter la notion de polynome a des eleves de licence, je leur ai donné la def, et ai tout de suite ajouté, "cette définition ne sert a rien, empressez vous de l'oublier, voila comment il faut voir les choses")

"Il m'est arrivé de présenter les axiomes de Peano a des élèves de collège qui devaient apprendre l'addition des entiers, et j'ai tout de suite ajouté "cette approche est très utile, mais pas pour apprendre l'addition ; pour le moment on va se limiter à la vision des choses adaptée à ce qu'on cherche à ce que vous maîtrisiez pour le moment."

Il y a différentes "profondeurs" pour l'abord des mathématiques. La vôtre n'est pas celle de Médiat, et si vous dites à des élèves "empressez-vous d'oublier", espérons que ceux qui voudront un jour aller plus en profondeur ne vous obéiront pas.

[invite5f67e63a]

Il y a différentes "profondeurs" pour l'abord des mathématiques. La vôtre n'est pas celle de Médiat, et si vous dites à des élèves "empressez-vous d'oublier", espérons que ceux qui voudront un jour aller plus en profondeur ne vous obéiront pas.

Je comprends pas trop ce que vous insinuez, quant a la profondeur avec laquelle je fais des maths, je pense pas avoir a m'en plaindre, puisque je suis moi aussi (jeune) mathématicien (et croyez moi je connais en profondeur (par rapport disons a un analyste, ou a un géomètre différentiel), l'algèbre commutative)

Justement d'ailleurs si en maths, il devait bien y avoir des "specialistes" des polynomes ce seraient bien les géomètres algébristes, puisque c'est leur objet d'etudes, donc je sais de source sure, qu'"oublier" cette définition, n'est en aucun cas handicapant, et je ne connais pas un seul géomètre algébriste qui pense a un polynome comme a une suite presque nulle.

Ensuite quand je dis oublier, ca veut dire, ne pas se prendre la tete dessus, elle n'est pas du tout eclairante, et n'a qu'un but "légaliste" donner une vrai defintion aux polynomes, mais n'apporte vraiment rien du tout a la compréhension.

[Médiat]

C'est pas tant que je la trouve compliquée, plutot que peu eclairante

Elle est éclairante, comme toutes les définitions, et en particulier les définitions formelles, lorsque l'on en comprend l'utilité : que cela "transporte" les formules atomiques et donc "ce que j'ai mis en gras dans mon post de 18h15", ce qui n'est pas un résultat banal, je pense que tous les mathématiciens ont utilisé, utilisent ou utiliseront l'expression "à isomorphisme près" ; est-ce que l'on peut se passer de savoir que cette expression trouve sa justification dans les formules atomiques ? Evidemment oui ! Mais en tant que logicien, je trouve satisfaisant de comprendre pourquoi.

J'insiste bien sur le fait que je ne porte aucun jugement, j'exprime juste une inclination personnelle

Mais globalement nos points de vue se rejoignent

Je n'ai aucun doute la-dessus depuis votre premier post (même si mon inclination personnelle m'a poussé à ne jamais dire "empressez-vous d'oublier", souvent on m'a fait reproche de ne pas être assez pragmatique, je confesse et revendique volontiers ce travers).

[Médiat]

Ensuite quand je dis oublier, ca veut dire, ne pas se prendre la tete dessus, elle n'est pas du tout eclairante, et n'a qu'un but "légaliste" donner une vrai defintion aux polynomes, mais n'apporte vraiment rien du tout a la compréhension.

Je ne veux pas opposer nos point de vue, juste dire qu'il y en a plusieurs (ce que Michel (mmy) appelle la profondeur) : votre phrase ci-dessus est pleinement justifiée dans le cadre de la géométrie algébrique, elle le serait peut-moins dans un autre cadre (j'avoue ne pas avoir d'exemple probant sous la main, la "structure" de l'ensemble des polynomes K[X] étant plutôt simple).

[invité576543]

n'a qu'un but "légaliste" donner une vraie définition aux polynômes, mais n'apporte vraiment rien du tout a la compréhension.

Encore une de ces assertions générales péremptoires et irritantes (en particulier les renforceurs assez inutiles que sont "vraiment", "rien du tout").

Il y a une différence entre "n'apporte rien à la compréhension" et "ne m'a [vous a] rien apporté comme compréhension", entre une généralité et un cas particulier.

Il est rarissime en science et en maths qu'un concept n'apporte rien à la compréhension de qui que ce soit. Mais il est courant, et normal, que des concepts n'apportent rien à de nombreuses personnes.

Peut-être n'est-ce qu'une question de style, mais cela donne, vu de l'extérieur, l'impression d'une polémique non constructive.

[invite986312212]

en repensant à cette discussion, j'ai trouvé un exemple peut-être plus probant que celui des polynômes, d'objet mathématique dont la définition formelle ne sert pas beaucoup: celui des graphes.

On peut définir formellement un graphe (simple non orienté) comme la donnée de deux ensembles: un ensemble fini S et un sous-ensemble A des paires d'éléments de S.

On peut en principe réfléchir aux propriétés de telles paires d'ensembles, mais quiconque s'essaie à la théorie des graphes va commencer par faire un dessin, or la définition ne parle ni de points ni de courbes.

Je pense qu'on pourrait très bien introduire les graphes par une définition informelle comme: "un graphe est un ensemble fini de points du plan et d'arcs reliant deux points, mais ce qui compte ça n'est pas la position exacte des points ni la forme des arcs, seulement la topologie" et développer la théorie exactement comme on le fait avec la définition formelle.

[Médiat]

"un graphe est un ensemble fini de points du plan et d'arcs reliant deux points, mais ce qui compte ça n'est pas la position exacte des points ni la forme des arcs, seulement la topologie"

Est-ce qu'en vidant les notions de points et d'arcs de toutes leurs caractéristiques de localisation, vous ne vous ramenez pas à parler d'élements d'un ensembles et de couples d'éléments de cet ensemble, c'est à dire à la définition formelle ?

Ceci dit, il n'y a pas forcément contradiction entre intuition et définition formelle, mais il faut se méfier de son intuition qui doit rester un guide et non une méthode.

L'intuition du "paradoxe de Banach-Tarski" ne doit pas être facile à avoir (avant que Banach et Tarski nous est dit quoi penser) .

[invite986312212]

Est-ce qu'en vidant les notions de points et d'arcs de toutes leurs caractéristiques de localisation, vous ne vous ramenez pas à parler d'élements d'un ensembles et de couples d'éléments de cet ensemble, c'est à dire à la définition formelle ?

je ne sais pas mais par exemple, quand on lit cette définition d'un graphe, on se dit aussitôt: "et si on prenait des ensembles à 3 éléments au lieu de 2 (les arêtes)?". En principe on peut très bien étudier ce nouvel objet. Mais si on n'arrive pas à le dessiner, si on ne donne pas un sens à la notions de circuit par exemple, ou si on ne sait pas en élaborer un analogue, je pense qu'on n'ira pas loin. Le graphe auquel on pense, c'est bien le petit dessin et ici je suis d'accord avec Therodre sur le fait que la définition a surtout une valeur "légale".

mais je reconnais aussi qu'il faut se méfier de l'intuition et que dans les cas où on se heurte à un phénomène qui paraît étrange, la voie la plus sûre est celle du formaliste.