Masse en mouvement dans un tore

[invite9fb9a13a]

Bonjour,

Je me suis posé une question physique mais qui relève surtout des maths.

On envoie une masse ponctuelle posée dans le tore à une vitesse tangente au cercle bleu (cf pièce jointe). Donner l'équation du mouvement régissant la masse à l'intérieur du tore.

Je connais le paramétrage du tore , en admettant qu'on choisisse une vitesse telle que le masse reste en contact avec la surface (c'est-à-dire qu'elle ne tombe pas lors d'un looping), on cherche la courbe décrite à la surface sous la forme (pour un tour déjà, si la courbe n'est pas fermée).

Physiquement en absence de frottements les seules forces d'appliquant sont le poids et la réaction de la surface. On va appliquer la relation fondamentale de la dynamique, mais on va projeter sur quelle base? J'ai pensé à utiliser un repère de Darboux... j'imagine qu'on va tomber sur des équa diff indigestes mais numériquement on pourrait avoir une allure de la trajectoire ça serait sympa non?

Merci de m'aider!
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[Universus]

Salut,

Je ne connais pas la terminologie 'habituelle' qu'on donne à certaines caractéristiques d'un tore, mais je vais tenter de me faire comprendre. Le tore peut être vu comme un cylindre de rayon r recourbé de telle sorte que l'axe du cylindre devienne un cercle. On nomme ce cercle C et le rayon de celui-ci R. Bien sûr, r et R sont des constantes pour un tore donné. J'imagine que la paramétrisation du tore que tu fais (désolé, la pièce jointe de ton message n'est pas encore disponible) utilise les angles suivants :

- est mesuré depuis le centre de C et permet d'indiquer un point de C.
- indique un point sur le cercle de rayon r et de centre .

Tu pourrais sans doute utiliser la mécanique lagrangienne pour obtenir les équations (différentielles) du mouvement de ta masse-test. L'idée serait d'exprimer la position cartésienne (x,y,z) de ta masse-test en fonction de . Évidemment que les constantes R et r vont apparaître, mais ce sont des constantes du problème. Tu pourras alors écrire un lagrangien dans ce système de coordonnées et utiliser les équations d'Euler-Lagrange pour obtenir les équations du mouvement. Elles sont au nombre de 2, une en (la plus simple à résoudre ici, je te recommande de la résoudre en premier) et une en .

[invite9fb9a13a]

Bonjour Universus,

C'est bien ça pour la paramétrisation du tore.

Par contre je n'ai jamais touché à la mécanique lagrangienne, je sors de prépa MP et ce n'était pas au programme. Tu peux m'expliquer le principe ?

Merci pour ta réponse !

[Universus]

Salut, je n'ai pas beaucoup de temps, mais assez pour sortir les grandes lignes de la méthode.

Si K est l'énergie cinétique d'un mobile et U l'énergie potentielle de ce mobile dans l'espace, alors le lagrangien L est K-U (à différencier de l'énergie mécanique définie comme étant K+U). Dans ta situation, la seule force dérivant d'un potentiel est la gravité et donc, en coordonnées cartésiennes avec l'axe z dirigé 'vers le haut', on a U=mgz. On a bien sûr K = (1/2)mv^2 où en coordonnées cartésiennes (un point désignant la dérivée temporelle de la quantité en-dessous du point).

Une fois le lagrangien exprimé en coordonnées cartésiennes, il est possible que la situation physique soit mieux décrite par un autre système de coordonnées (comme dans le cas ici présent). Dans ce cas, tu cherches à exprimer x,y, et z en fonctions de tes autres coordonnées (ainsi que les dérivées temporelles de x,y et z). Une fois ces 'traductions' connues, tu peux récrire le lagrangien en terme du nouveau système de coordonnées.

Afin d'obtenir les équations du mouvement de ta particule, il te faut utiliser les équations d'Euler-Lagrange. Soit u une coordonnée (parmi d'autres) de ton système de coordonnées. Alors l'équation d'Euler-Lagrange en u est (en fait, dans ton lagrangien tu auras des termes dépendant de u, d'autres dépendant de ; l'idée est de considérer ces deux variables ensuite comme indépendantes). Dans ton cas, il y a deux équations d'Euler-Lagrange : une en theta, l'autre en phi.

Je sais qu'étant donné que c'est ta première rencontre avec la mécanique lagrangienne ces explications peuvent te paraître vagues. Tu peux néanmoins trouver beaucoup de réponses dans l'internet et sinon, tu peux toujours poser des questions sur ce forum. Je suis certain que d'autres pourront te répondre ou moi-même lorsque j'en aurai un peu plus le temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9fb9a13a]

Merci pour le topo !

Alors je trouve et (à priori les deux variables dépendent du temps n'est-ce pas?)



Bon, dérivons maintenant ^^

[Universus]

Je corrige dans ta dérivation une petite erreur (tu as oublié de changer le cosinus dérivé en sa dérivée justement)

[...] et (à priori les deux variables dépendent du temps n'est-ce pas?)

La correction doit aussi être apportée dans le lagrangien. Aussi, développe un peu afin de voir si certains termes ne se simplifieraient pas (ça arrive souvent et en fait ça doit arriver, vois plus bas).

Et oui en effet, les deux variables dépendent du temps, puisqu'en dérivant les coordonnées par rapport au temps, tu les visualises un peu plus comme étant les coordonnées de ta particule test et moins comme étant un système de coordonnées permettant de repérer n'importe quel événement dans l'espace.

Pour l'utilisation ensuite des équations d'Euler-Lagrange, je te recommande encore de considérer l'équation d'E-L en . La raison étant que ton lagrangien ne peut pas dépendre de theta (qui donc, après simplification de ton lagrangien, devrait totalement disparaître, bien que sa dérivée temporelle puisse être toujours présente). Pourquoi? En faisant appel à tes connaissances en physique, puisqu'il n'y a aucune force à chaque instant qui agit sur la particule-test de façon perpendiculaire au plan contenant le cercle , le moment cinétique de la particule 'autour de' l'axe z doit demeurer constant. Et c'est une propriété très intéressante de la mécanique lagrangienne que cette propriété physique corresponde à l'absence ici de la variable dans le lagrangien.

Pour expliciter un peu plus ce point, on nomme le terme la force généralisée (pour la coordonnée u) et le terme la quantité de mouvement généralisée (pour la coordonnée u). Cette terminologie provient du fait que si u est une coordonnée cartésienne, alors ces termes sont respectivement la force et la quantité de mouvement comme nous l'entendons habituellement. L'équation d'E-L est alors tout simplement la 2e loi de Newton. Dans le cas où u= comme ici, la force généralisée est le moment de force 'autour de' l'axe z et la quantité de mouvement généralisée est le moment cinétique 'autour de' l'axe z. Bref, la mécanique lagrangienne permet bien plus aisément que la mécanique newtonienne d'obtenir des lois de conservations.

Ainsi, tu pourras exprimer en fonction d'une nouvelle constante (soit le moment cinétique initial de ta particule qui est, par conservation du moment cinétique, simplement le moment cinétique de ta particule) et des autres constantes du problème. Tu pourras ensuite regarder l'équation d'E-L en et, en substituant à la fin les de l'équation que tu obtiens, tu auras l'équation (différentielle) du mouvement de ta particule. Elle ne dépend pas de la vitesse initiale que tu donnes à la particule, étant une équation différentielle. Fort probablement que l'équation n'est pas intégrable, mais en regardant les différents termes, tu pourras obtenir une bonne dose d'informations sur le mouvement de la particule (comme la conservation de son moment cinétique selon l'axe z!).

[invite9fb9a13a]

Bonjour,

Effectivement ça se simplifie :



On a donc et

En fait non on s'en fiche, G étant une constante du mouvement on a .

Si à la masse se trouve au point de paramètres alors (?)

Je vais voir les dérivées partielles par rapport à maintenant. Mais visiblement la vitesse initiale apparaitra dans l'équa diff non?

Merci de ton aide !

[Universus]

Salut,

En fait non on s'en fiche, G étant une constante du mouvement on a .

En effet. Comme tu l'as sans doute remarqué, du fait qu'on ait et que, selon l'équation d'E-L, cela doit aussi être égal à , on en conclut que doit être une quantité constante dans le temps. Ce constat est général ; si on cherche à exprimer un lagrangien, entre autres, par un paramètre u, mais que ce paramètre n'apparaît finalement pas dans le lagrangien, alors on dit que la variable u est 'ignorable'. Dans ce cas, la quantité doit être une constante du mouvement.

Si à la masse se trouve au point de paramètres alors (?)

Il faut bien comprendre que l'endroit d'où tu lances la bille (la particule) et dans quelle direction (et avec quelle vitesse) sont deux choses indépendantes. Si je comprends bien ton dessin, à t=0, la vitesse de la bille est en direction des y positifs, ce qui correspond aussi à t=0 à la direction , c'est-à-dire le vecteur unitaire qui indique le sens localement dans lequel le paramètre est croissant. Dans ce cas, on peut écrire .

Si on coupe ce tore par un plan parallèle au plan Oxy, l'intersection (si elle est non vide) du plan avec le tore correspond à un cercle ou deux cercles concentriques. Il est plutôt clair qu'initialement, vu la direction de , le mobile suivra du moins momentanément une trajectoire assimilable à un de ces cercles. La cinématique du mouvement circulaire étant bien connue, on pourra trouver une expression de la vitesse en terme de (chose que tu n'as pas faite, à moins que la vitesse ne soit pas de dimension longueur/durée). À t=0, la distance D entre le mobile et le centre O du tore est donnée par et donc . Ainsi, en vue du résultat que tu as obtenu, on a que .

Comment avoir une idée si cette réponse est la bonne? Comme je l'ai mentionné dans mon message précédent, G est un moment cinétique de dimension donc masse.longueur^2/durée. Vu que tu as défini C=G/m, on a que la dimension de C est longueur^2/durée, ce qui correspond bien la dimension de la réponse ci-dessus (pour autant bien sûr que ait pour dimension longueur/durée).

Je vais voir les dérivées partielles par rapport à maintenant. Mais visiblement la vitesse initiale apparaitra dans l'équa diff non?

Plus ou moins. Il faut bien comprendre qu'a priori tu as deux équations d'E-L. Il s'est avéré que celle en était 'soluble' en comme fonction de . Alors, bien sûr, la solution introduit une constante C qui dépend des conditions initiales. Néanmoins, comme tu peux t'en rendre compte en considérant le raisonnement fait plus haut dans ce message, C ne dépend que de la vitesse initiale dans la direction de ; cela indique que dans une situation plus générale, tu n'as pas à connaître complètement les conditions initiales pour trouver C, connaître la vitesse initiale dans la direction de étant suffisant.

Tu vas considérer à présent l'équation en qui est, elle, bien plus complexe. Tu ne pourras pas la résoudre pour une situation tout à fait générale ; tu n'auras donc à ta disposition qu'une équation du mouvement qui ne dépend pas de toutes les conditions initiales puisqu'elle doit être vraie pour toutes les conditions initiales possibles.

Pour mieux comprendre, considérons le cas d'une particule que je lance avec une certaine vitesse (vers le haut ou vers le bas, peut-être même avec une vitesse nulle...) et qui n'est, ensuite, que sujette à la gravité. Son lagrangien selon l'axe z est donc . On a donc . Bref, l'information que nous obtenons est donc que l'accélération de la particule est l'accélération gravitationnelle. Ceci est vrai pour n'importe quelle hauteur ou vitesse initiale.

[invite9fb9a13a]

Tes explications sont parfaitement claires !

Mais avant de me lancer dans les calculs, je replace donc fonction de dans L, j'écris l'équation d'E-L et j'obtiens une équation différentielle en . Je me doute que celle-ci n'est pas intégrable, mais a-t-on la possibilité de faire une "résolution numérique" pour une durée donnée? On connaitrait ainsi pour plusieurs dates t assez proche les valeurs de . Et comme on peut trouver une primitive de on aurait aussi accès à et on pourrait représenter (pour un fixé) la trajectoire obtenue , c'est ce qui m'intéresse en fait dans ce problème.

Si c'est faisable je me lance dans les calculs, en fait je n'ai jamais fait d'analyse numérique donc je ne sais pas si pour une équa diff aussi vilaine on peut facilement approximer la solution et avec quel logiciel? Maple?

Merci beaucoup!

[invite9fb9a13a]

Mince non n'importe quoi pour la primitive! on connait que , comment déterminer ?

[Universus]

Salut,

Mais avant de me lancer dans les calculs, je replace donc fonction de dans L, j'écris l'équation d'E-L et j'obtiens une équation différentielle en .

Tu poses là une question qui ne m'était jamais venue à l'esprit (je ne sais bien pas pourquoi d'ailleurs), à savoir s'il faut renvoyer la fonction que tu as obtenue pour dans le lagrangien. Je comprends bien pourquoi tu dis cela (puisqu'il y a un dans l'expression de obtenue), mais voici quelques arguments afin d'expliquer pourquoi il ne faut pas procéder ainsi.

Tout d'abord, a priori, on aurait bien pu commencer par l'équation d'E-L en , obtenant une équation différentielle qu'on peut en principe résoudre. Suivant ton idée ici, il faudrait donc pour obtenir ensuite l'équation d'E-L en substituer dans le lagrangien cette solution pour . Où veux-je en venir? Il est fort vraisemblable que l'équation d'E-L en par exemple ne serait pas la même selon notre choix de première équation d'E-L à obtenir et résoudre, ce qui ne peut pas être le cas.

Néanmoins, la problématique ne vient pas du fait qu'on a choisi d'obtenir une équation d'E-L particulière en premier avant l'autre, mais qu'on ait aussi voulu la résoudre avant d'obtenir l'autre équation d'E-L. Seulement, en quoi est-il vraiment nécessaire de résoudre une équation d'E-L avant d'effectuer les étapes permettant d'obtenir la seconde? En rien, justement.

Ce qu'il faut comprendre, c'est que le lagrangien et les équations d'E-L obtenues pour une paramétrisation particulière sont assez généraux, bien plus généraux du moins que la solution qu'on nous avons obtenue pour pour des conditions initiales particulières. Autrement dit, les différents équations d'E-L sont, dans un certains sens, 'indépendantes' (ce n'est pas juste en ce sens qu'on peut obtenir des équations différentielles couplées). Les variables et ainsi que leur dérivée temporelle sont toujours à voir comme étant des variables distinctes, indépendantes tant et aussi longtemps que nous n'avons pas essayé de résoudre les équations différentielles. Ce n'est que lors de la résolution des équations différentielles qu'on peut spécifier le problème par des conditions initiales particulières et que là apparaît vraiment les liens entre et qui caractérisent une trajectoire particulière.

Bref, tout ça pour dire que non, tu n'envoies pas la fonction de en terme de dans le lagrangien pour obtenir l'équation d'E-L en . Tu considères le même lagrangien général que précédemment, tu obtiens l'équation d'E-L en et là, ayant réussi à résoudre l'équation d'E-L en , tu peux substituer les termes apparaissant dans l'équation d'E-L en par cette solution pour obtenir une équation différentielle ne faisant intervenir que la variables et ses dérivées temporelles. Tu auras obtenus l'équation du mouvement de ta particule.

Pour ce qui est de la résolution par un logiciel de calcul, je n'ai pas encore fait de telles choses et je ne peux donc pas t'aider pour ça. En principe néanmoins, il est toujours possible je pense de résoudre une telle équation différentielle.

[invite9fb9a13a]

Ok donc si je comprends bien j'écris l'équation d'E-L pour la variable , j'obtiens une équation différentielle, et c'est seulement à ce moment là que je remplace par son expression en .

Je m'y colle merci !

[Universus]

Resalut,

Mince non n'importe quoi pour la primitive! on connait que , comment déterminer ?

Tenter de trouver comment évolue un mobile dans le temps est une chose généralement très complexe. En guise d'exemple, il est assez simple de lier la position d'un corps à sa vitesse à cet endroit lors de l'interaction gravitationnelle de ce corps avec un autre ; il ne s'agit que d'appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique. Un peu de calcul nous permet aussi d'obtenir à quel instant cela se produit. Autrement dit, on peut obtenir des fonctions , et , mais cette dernière fonction n'est pas inversible et on ne peut donc pas obtenir une fonction pour des conditions initiales quelconques. Par non inversible, j'entends qu'on ne peut pas exprimer en terme de fonctions usuelles ; mon choix de terme est mauvais, mais bon.

Avant de se prononcer néanmoins, il faut trouver la dernière équation d'E-L. Le lagrangien, on le rappelle, est :



On a donc :



et

, d'où

En utilisant l'équation d'E-L et en éliminant la masse et un R, on obtient donc que . Sachant que , on obtient l'équation du mouvement.

Tu peux obtenir bien des informations. Par exemple, si , obtient-on l'équation du mouvement d'un pendule comme on s'y attend physiquement? Pour quelle valeur de a-t-on une 'orbite' stable (i.e. )?

[invite9fb9a13a]

Je viens de terminer les calculs je trouve la même chose que toi !

Je crée un autre fil pour demander comment résoudre numériquement cette équa diff?

Merci beaucoup de m'avoir aidé tu fais des études de physique ?

[Universus]

Étant donné comment tu as présenté le problème au début de ce fil, je présume qu'il s'agit d'une question personnelle que tu t'aies posée, une curiosité et non pas un travail par exemple scolaire. Dans ce cas, l'objectif général est d'apprendre de nouvelles choses (comme un peu de mécanique lagrangienne, peut-être un peu d'analyse numérique). Il faut néanmoins comprendre qu'il est possible d'avoir une certaine approximation de la solution réelle sans procéder par des méthodes numériques. À la place, on fait une approximation disons théorique en modifiant l'équation du mouvement (modifications justifiées par certaines arguments d'approximation) et alors il est possible que l'équation différentielle ainsi obtenue soit soluble. De plus, je ne comprends pas pourquoi tu tiens tant à ces conditions initiales en particulier si le problème t'es venu par une simple curiosité, mais bon .

L'équation du mouvement d'une particule test sur un tore est donnée par :



où avec G le moment cinétique selon l'axe de symétrie de rotation du tore. Cela est totalement général, une partie des conditions initiales permettant seulement de fixer G. Alors si tu es intéressé, tu peux effectuer des approximations pour espérer simplifier le problème (comme dans le cas du mouvement du pendule simple).

Autrement, je suis bien des études en physique et en mathématiques.

Amicalement,

Universus

[invite9fb9a13a]

Oui c'est une simple curiosité, et je suis ravi d'apprendre de nouvelles choses !

Si je tiens tant aux conditions initiales c'est parce que la question initiale que je me suis posé est : "quelle est la trajectoire que suit la bille dans le tore suivant que je l'envoie plus ou moins fort". Physiquement c'est intéressant de vouloir simplifier le problème, mais dans un premier temps j'aimerais éviter toute perte de généralité et simplement visualiser différentes trajectoires avec un logiciel. Mais ça se fera surement dans l'autre topic, on peut continuer ici l'analyse physique.

Si on retrouve bien une équa diff traduisant un oscillateur, mais qu'est-ce qui justifierait une telle hypothèse, cela voudrait dire que la bille subirait une "rotation uniforme" suivant , donc j'imagine une trajectoire où la bille parcourt le tore en oscillant. Mais attends vu l'expression de c'est impossible que ça soit identiquement nul non?

[Universus]

Si , alors la bille reste tout le temps par exemple sur le cercle bleu. Autrement dit, tu ne lui as pas donné de vitesse transversale et elle reste dans un plan vertical. Tu as un pendule. Plus précisément, la bille n'ayant pas de vitesse transversale, elle ne 'tourne' absolument pas autour de l'axe z, dans quel cas son moment cinétique autour de cet axe est nul, soit G=0. D'après ce qu'on a obtenu, cela redonne bien .

[invite9fb9a13a]

Ah oui je suis bête j'ai confondu les rôles des deux variables !

Ce cas particulier est assez simple donc, mais ça permet de vérifier la cohérence de l'équation.

[Universus]

Exactement,

Maintenant, tu peux aussi te demander s'il existe une position d'équilibre, c'est-à-dire comme je l'ai dit un angle pour lequel la dérivée première est nulle (et par le fait même la seconde aussi) ou, encore dit autrement, un angle pour lequel la trajectoire est un cercle. La raison pour laquelle on peut s'y attendre qu'il existe un certain angle et une certaine vitesse transversale pour lesquelles la trajectoire est bien un cercle provient d'un équilibre entre la force de gravité (dont la composante tangente au tore dépend de l'angle) et de la force centrifuge (qui dépend surtout de la vitesse transversale) qu'on peut pressentir exister.

Il y a bien d'autres questions qu'on peut se poser. La mécanique lagrangienne est en fait une méthode beaucoup plus forte pour obtenir les équations du mouvement que la méthode de la mécanique newtonienne. La simplicité de cette dernière est avantageuse dans des problèmes tout aussi simples, mais elle devient vite un casse-tête notoire dans des situations plus complexes. La méthode lagrangienne est plus systématique, c'est une recette dont on ne peut pas sauter d'étape, mais qui fonctionne très bien. Bref, si ça t'intéresse, je te recommande vivement de lire sur le sujet. Cela mène ensuite à la formulation hamiltonienne de la mécanique classique qui, bien que souvent moins utile dans la pratique que la lagrangienne, permet des développements théoriques vraiment fabuleux!

[invite9fb9a13a]

Bon et bien après m'être battu avec Maple voici une des trajectoires que j'obtiens (avec , , , ). Et j'ai imposé comme conditions initiales (bille "au sol" dans le tore) et (tangent au cercle bleu, cf le premier schéma en haut), et .

J'espère que c'est juste, je vérifierai demain! En tout cas c'était sympa de bosser ça avec toi Universus

[Universus]

Salut Infophile,

Ta pièce jointe n'a pas encore été validée, alors je n'ai certainement pas de commentaire à faire actuellement à ce propos. Ma remarque n'est en rien essentielle, c'est plutôt une recommandation afin de rendre la formalisation du problème quelque peu meilleure.

Je te recommanderais de faire un changement de paramètre . L'effet de ce changement de paramétrisation est qu'il est un peu mieux adapté au fait que la bille a vraisemblablement plus de chance de se trouver 'au fond' du tore que sur le côté. Par ce nouveau choix, la bille se trouvera généralement être proche d'une valeur nulle en . Ce choix de paramétrisation est surtout plus commun en vue d'un problème de physique. En effet, si la bille était complètement au repos, elle se tiendrait au fond du tore. On peut ainsi pressentir que si pour certaines vitesses données à la particule il existe des positions d'équilibre, ces positions sont généralement proches du fond du tore aussi.

Si ce changement de paramétrisation te 'plaît', il n'y a pas besoin de refaire tous les calculs, le changement de paramétrisation se faisant bien sûr simplement par application d'identités trigonométriques.