exercice d'algèbre linéaire aidez-moi svp

[inviteb05232df]

voici l'exercice:

soit g l'application de R3 dans R3 : (x,y,z) --> (x+2y+z,2x+y-z,x+2y+z)
1-montrer que g est linéaire. ( déjà fait)
2-montrer que Im g est le plan d'équation x=z.
-----

[invitebe08d051]

Encore une exercice à l'express !!!

Tant que tu ne nous a pas montré ce que tu as fait, personne ne te répondra, on est pas là pour faire tes exercices OK !

Et puis la politesse ça ne fait de mal à personne que je sache....

[invite899aa2b3]

D'ailleurs, l'exercice est résoluble sans trop transpirer après avoir vu la définition de l'image.

[invitea0b22930]

regarder les images par g de la base canonique de R^3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4a9059ea]

bonsoir tous le monde ;

ou il y a quelque chose qui m'échappe ! mais franchement je ne vois pas trop comment m'y prendre pour répondre à sa question ...

merci de m'éclairer
Cdt

[invitebe08d051]

Bonsoir,

Ici c'est simple, on connait une base de l'ensemble de départ, l'ensemble des images des vecteurs formant cette base est générateur de l'image de f.

[vanos]

Bonjour,

Amin1616 est malpoli et trop paresseux pour faire son exercice, cessez donc de lui répondre. Merci pour la dignité de FS, nous ne sommes pas des larbins.

Solidairement.

[Médiat]

Bonjour,

Merci d'éviter les attaques personnelles inutiles (puisque cela a déjà été dit), même si votre remarque est justifiée, d'autant plus que mimo13 répondait à lémathdabor.

Médiat

[invitea0b22930]

d'autant plus que mimo13 répondait à lémathdabor

lémathdabor ou bien lémathabhorre ? En tout cas pas lémathador

[invite4a9059ea]

Bonjour tous le monde ;

Désolé si je parait bête ...
Mais je ne vois toujours pas comment résoudre la question ?

Merci
Cdt

[invitea0b22930]

Mais je ne vois toujours pas comment résoudre la question ?

Alors allons y piano piano
Calcule d'abord les images des 3 vecteurs (1,0,0) (0,1,0) et (0,0,1).
Dès que tu as le résultat fais un post

[invite4a9059ea]

La matrice de g dans la base canonique de est :



les 3 vecteurs colonnes sont les images des 3 vecteurs de la base canonique par g .

Ensuite ....

[invitea0b22930]

les 3 vecteurs colonnes sont les images des 3 vecteurs de la base canonique par g .

Très bien !
Que peut-on dire des deux premiers vecteurs colonnes du point de vue de l'indépendance linéaire ?

[invite4a9059ea]

ils sont indépendants , ils forment donc une base de im g car le rang de la matrice est 2

[invitea0b22930]

ils sont indépendants , ils forment donc une base de im g car le rang de la matrice est 2

Parfait !
Que peut-on dire de l'ensemble des vecteurs de l'espace défini par l'équation
x=z ?

[invite4a9059ea]

j'ai un doute , mais je dirais qu'ils sont sur le plan passant par la bissectrice de l'axe (oxz) ...

[invitea0b22930]

L'ensemble x=z n'est-il pas le noyau de la forme linéaire:
(x,y,z) --> 1.x+0.y-1.z
de matrice (1,0,-1)
?

[invite4a9059ea]

j'ai un doute , mais je dirais qu'ils sont sur le plan passant par la bissectrice de l'axe (oxz) ...

peut être devrais je dire le plan (oxz) ...

[invitea0b22930]

Tu sais ce qu'est une forme linéaire ?
Tu connais le théorème du rang ?
Que peux-tu en conclure pour le noyau d'une forme linéaire non nulle de R^3 dans R ?

[invite4a9059ea]

L'ensemble x=z n'est-il pas le noyau de la forme linéaire:
(x,y,z) --> 1.x+0.y-1.z
de matrice (1,0,-1)
?

oui c'est exact c'est bien le noyau de cette forme linéaire dont la dimension est 2 .
Mais on ne considère plus l'endomorphisme g que l'on a au départ ??

[invitea0b22930]

Bon, résumons!
l'ensemble défini par x=z est le noyau d'une forme linéaire non nulle. C'est donc un plan. Si tu veux visualiser ce plan il a pour vecteur directeurs (1,0,1) et (0,1,0). Il passe donc par l'axe y'Oy et la première bissectrice du plan xOz. Appelons ce plan P1
Maintenant revenons à Img c'est lui aussi un plan que nous appelons P2.
Que peux_tu dire des deux vecteurs directeurs de P2 par rapport à P1 ?

[invite4a9059ea]

Bon, résumons!
l'ensemble défini par x=z est le noyau d'une forme linéaire non nulle. C'est donc un plan. Si tu veux visualiser ce plan il a pour vecteur directeurs (1,0,1) et (0,1,0).

avant de répondre , j'aurai voulu savoir si les 2 vecteurs ci dessus forment une base du noyau de la forme linéaire ??

la réponse est oui

[invitea0b22930]

avant de répondre , j'aurai voulu savoir si les 2 vecteurs ci dessus forment une base du noyau de la forme linéaire ??

Bien entendu puisque dans notre cas de figure (dimension 3) le noyau d'une forme linéaire non nulle est un plan et que les deux vecteurs sont linéairement indépendants. Dans tout plan tout couple de deux vecteurs linéairement indépendants est une base.

[invite4a9059ea]

désolé mais je n'ose pas dire que les vecteurs de P1 sont colinéaires à ceux de P2 dont une base est ((1,2,1),(1,-1,1)) ??

[invite4a9059ea]

Par contre chaques vecteur de P2 s'expriment comme combinaisons linéaires à partir des vecteurs de P1 ...

[invitea0b22930]

Ma question exacte est:

Que peux-tu dire des deux vecteurs directeurs de P2 par rapport à P1 ?

Les deux vecteurs directeurs de P2 étant donc, nous sommes d'accord, les deux premières colonnes de la matrice, en même temps qu'une base de Img=P2

[invite4a9059ea]

Ma question exacte est:

Les deux vecteurs directeurs de P2 étant donc, nous sommes d'accord, les deux premières colonnes de la matrice, en même temps qu'une base de Img=P2

et chaques vecteur de P2 s'expriment comme combinaisons linéaires à partir des vecteurs de P1 ...

[invitea0b22930]

et chaques vecteur de P2 s'expriment comme combinaisons linéaires à partir des vecteurs de P1

Ne te parait-il pas évident que chacun des deux premiers vecteurs colonnes de la matrice EST dans P1 ?

[invite4a9059ea]

C'est souvent les choses les plus évidentes qui me paraissent les plus compliquées ....

mais si je suis le raisonnement et sauf erreur, cela voudrait dire que
P2 est inclus dans P1 et donc que P1 est aussi une base de Img

[invitea0b22930]

P1 est aussi une base de img

Non on ne peut pas dire qu'un plan est une base.
Img est un plan P2 OK
Or les deux premiers vecteurs colonnes de la matrice, forment une base de P2, on l'a vu et ces deux vecteurs sont évidemment des vecteurs de P1 puisque leur première coordonnée est égale à la troisième.
Donc toute combinaison linéaire des deux premières colonnes (i.e. tout vecteur de P2) est dans P1.
Donc P2 est inclus dans P1.
Mais un plan ne peut être inclus dans un autre plan que si les deux plans sont égaux. Cela vaut plus généralement pour deux sous-espaces de même dimension k dans un espace de dimension supérieure.
Je pense que tu as intérêt à approfondir les notions de base en algèbre linéaire:
http://gilles.dubois10.free.fr/algeb..._lineaire.html