Classe d'équivalence, élément autoconjugué et groupe abélien.

[herman]

Bonjour,

Je viens de trouver une définition de la classe d'équivalence que je ne comprends pas trop quand on prend le cas du groupe abélien...

Relation de conjugaison : Soient a et b éléments de G. a et b sont conjugués <=> il existe g appartement à G tel que

Classe d'équivalence : l'ensemble des éléments conjugués d'un élément a forme la classe d'équivalence de a. On la note (a) :


Si (a)=a alors on dit que a est autoconjugué
tout élément est autoconjugué dans un groupe abélien

Je ne comprends pas comment a peut être autoconjugué, surtout si tout élément d'un groupe abélien l'est...
On a le droit d'écrire : et dire que c'est la seule possibilité donc (a) = a ?
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Dans un groupe abélien c'est à dire commutatif
on a pour tout g par commutativité pour la 1ère et par composition d'inverses pour la seconde donc il semble normal que tout élément d'un groupe abélien soit autoadjoint.

donc es tu sur de ton "+" dans car sinon (a) = a + a + a + ... et donc serait différent de a ...

RoBeRTo

[invitebe0cd90e]

Alors :
- deja c'est dangeureux de parler "du" groupe abelien, il y en a plusieurs des groupes abeliens.
- dans la definition de "classe d'equivalence" que tu donnes (qu'on appelle plutot classe de conjugaison), je ne vois pas ce que viennent faire les "+". Une classe d'equivalence est un ensemble, pas un element du groupe, c'est plutot
- plus exactement, il faut se souvenir que la definition d'un groupe abelien A, c'est que A est un groupe, et que dans A tous les elements commutent, cad que pour tout x,y dans A, x*y=y*x.

Donc en particulier , donc y est bien "auto conjugué", cad que al classe de conjugaison de y ne contient qu'un seul element, y lui meme.

[Médiat]

donc es tu sur de ton "+" dans car sinon (a) = a + a + a + ... et donc serait différent de a ...

La bonne question me semble plutôt être "que veut dire + dans un groupe noté multiplicativement ? "

[EDIT] Grillé par jobhertz

[A voir en vidéo sur Futura]

[herman]

Oui effectivement c'est une question pertinente.

Pour expliquer le contexte, je vais suivre un cours de théorie des groupes l'an prochain (qui arrive très tardivement en M2, je suis en master de physique subatomique ). J'ai voulu prendre le cours d'un étudiant de l'année au dessus pour le lire pendant les vacances et le travailler un peu (les livres sont souvent préférables mais avec le cours je peux avoir une idée de la ligne directrice qui m'attend). Normalement j'approfondi un cours en me basant sur un livre ou des notes de cours que j'ai prises moi même mais ce cours m'intéresse beaucoup donc j'ai un peu sauté les étapes et je me rends compte qu'il se pourrait qu'il ait été très mal pris d'après vos dires...

Bref ci-joint la photo de la page incriminée, ce dont je parle ce trouve en haut de la page de droite. Si ça vous semble horrible j'arrête tout de suite de suivre ces notes et je vais à ma BU lundi ^^.

[Médiat]

et je vais à ma BU lundi ^^.

Bonne idée

[herman]

Donc cette page que j'ai joint est erronée c'est votre dernier mot ? Aucune explication ? Parce que le prof a une excellente réputation (et je l'ai déjà eu) , ça voudrait donc dire que l'étudiant est incapable de recopier le cours correctement ? (et pourtant j'ai pas demandé à n'importe qui).

[invité576543]

Proposition de décodage :

Le + note quelque chose comme l'union, rien à voir avec la loi de groupe.

(a) = a veut dire que la classe de a est réduite à a, que la classe est un singleton.

Est appelé "auto-conjugué" un élément du centre.

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Amha, rien d'erroné, juste du vocabulaire et notations non standard...

[herman]

Oui c'est un cours pour des physiciens c'est pour ça, mais je suis stupide de venir poster dans la section mathématiques sans prendre le soin de vous précisez que mes notations sont probablement hérétiques désolé.

En attendant vous m'avez éclairci, merci .

[invitebe0cd90e]

J'aurais dit un truc du genre, aussi, on voit des "+" apparaitre des la page de gauche, donc peu de chances que ca soit une faute ponctuelle. je pense aussi que c'est une notation "a la physicienne", peut etre en ayant en tete le calcul des caracteres (sauf erreur, c'est le point de depart de l'utilisation des groupes de symétrie des molecules pour calculer des trucs, par exemple)..

Disons que ca me choque moins quand il dit que le groupe est "somme" de ses classes d'equivalence, que quand il dit qu'une classe d'equivalence est une "somme" d'element. Le premier contexte est peu ambigu, et donne bien une idée de "decomposition" du groupe, mais le second est plus douteux. Peut etre au fond une erreur "locale" de prise de note...

[Médiat]

Une notation plus mathématique serait sans doute

Et donc en aucun cas on ne peut avoir ,
mais dans le cas d'un groupe abélien on a clairement .