Prédir la flêche d'une chainette

[mc222]

Salut, je me demandais si on pouvait prédir la flêche maximum qu'atteint une chainette, en ne connaissant que la longueur de la chainette et la distance entre ses point d'attaches.

A mon avis on peut, mais quand on mais en équation...

Bref, on a :



(J'ai rajouté un "-a" pour que la courbe touche l'axe des abcisses en 0.)

avec



: force horizontal exercé par les "poteaux" sur la chainette.
: poids linéique de la chainette.

Imaginon que je ne connaisse pas ces deux paramêtre, mais que je connaisse la longeur de la chainette et la distance entre les poteaux:

On peut réunir ces deux nouveaux paramêtres dans cette intégralle:



:longeur de la chainette
: distance entre les poteaux.

Ce qui nous donne:




On a donc deux équations:





Ce qui aurait été bien c'est d'introduire la deuxième dans la première et simplier les "a", mais on ne peut pas, alors comment faire ?

merci d'avance, a plus.
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[invite332de63a]

Oui la deuxième semble un bon choix au vue du fait que Sh est iversible et pas ch car ch est paire et sh strictement croissante sur lR, continue donc bijective je vais chercher un peu et te dire si je trouve une qulconuqe réponse

[invite332de63a]

D'après ce que je viens de trouver sur le net la fonction réciproque de sinh est la suivante : donc pas aisé a mon avis de simplifier ta loi par ce procédé là

[mc222]

salut, moi non plus je ne vois pas, peut être pouvons nous regarder du coté de la fonction oméga de Lambert, je vais voire ca...

Mais imaginons déja les limite de cette fonction,

: longeur de la chainette
: distance entre les extrèmités de la chainette.

Quand le rapport tend vers l'infini, la flêche maximum prise par la chainette doit suivre une loi linéaire de telle que:



Ainsi, si on peut considérer les deux bouts de la chainettes comme joints, on trouve que la fleche maxi n'est autre que la longeur de cette dernière divisée par deux. (logique)

Ensuite, si le rapport tend vers , la fleche doit necessairement tendre vers , voila pourquoi je ne m'étonnerais pas de tomber sur quelque chose du type:



mais k doit varier pour respecter la limite vue plus haut

De toute facon, la fonction ne doit etre définit que sur 1 à l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

On a donc deux équations:

Je vous fais confiance sur ces deux équations, alors :
quand x = d/2 vous obtenez la flèche que je note f




ou encore




En élevant au carré et en soustrayant, les fonction hyperboliques disparaissent.

[mc222]

Je vous fais confiance sur ces deux



En élevant au carré et en soustrayant, les fonction hyperboliques disparaissent.

je ne vois vraiment pas comment vous faites, vous pouvez detailler svp ?

[Médiat]

je ne vois vraiment pas comment vous faites, vous pouvez detailler svp ?

[mc222]

et comment en arrivez vous à une équation présentant cette identité svp ?

( chui chiant je sais )

[Médiat]

et comment en arrivez vous à une équation présentant cette identité svp ?

C'est une égalité "bien connue" sur les fonctions hyperboliques, que vous pouvez démontrer très simplement en reprenant la définition du cosh et du sinh en fonction de l'exponentielle, soit à partir des formules d'Euler faisant le lien entre cos et cosh, et entre sin et sinh.

[mc222]

C'est une égalité "bien connue" sur les fonctions hyperboliques, que vous pouvez démontrer très simplement en reprenant la définition du cosh et du sinh en fonction de l'exponentielle, soit à partir des formules d'Euler faisant le lien entre cos et cosh, et entre sin et sinh.

Ok, je connaissais cette identité, mais je ne comprend pas comment on arrive à relier les deux équations qu'on a au départ qui sont :


et

[invite332de63a]

Pour x=d/2 on a comme l'a marqué Médiat


et



donc avec l'identité des fonctions hyperboliques soit ch²(x)-sh²(x)=1

on a
donc en simplifiant

soit mais ceci seulement pour x=d/2

RoBeRTo

[mc222]

a ok, j'ai des petites absences des fois, ^^

Donc pour trouver f, il faut résoudre l'équation du second degré.

[mc222]

a ouai mais il reste des "a" !

Moi j'voudrais des "d" à la place ^^